Quantos são os números naturais n tais que (5n-12)÷(n-8)
é também um número natural?
Podem responder com soluções diferentes das do site da obmep
Olimpíadas ⇒ OBMEP
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παθμ
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Jan 2024
18
14:49
Re: OBMEP
Stanbech,
[tex3]\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.[/tex3]
Veja, além disso, que [tex3](n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5),[/tex3] e inserindo isso na nossa equação:
[tex3]40-(n-8)(k-5)=12 \iff (n-8)(k-5)=28.[/tex3]
Temos [tex3]28=2^2 \cdot 7.[/tex3] Os seis pares de números inteiros que multiplicados dão 28 são:
1, 28 ; -1, -28
2, 14 ; -2, -14
4, 7 ; -4, -7
Como [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são inteiros, o par [tex3](n-8, \; \; k-5)[/tex3] precisa ser um dos seis pares acima. Mas ainda há a restrição de que [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] têm de ser naturais, ou seja, inteiros não-negativos.
Daí, é fácil verificar que os pares (-1, -28) e (-2, -14) têm de ser eliminados.
Contabilizando os três pares (1, 28), (2, 14), (4, 7) há no total 6 valores possíveis para [tex3]n[/tex3] (pois, para cada par, escolhemos qual número seria o n-8 e qual seria o k-5, ou seja, há 2 soluções distintas por par).
Já para o par (-4, -7), só há uma solução, que é [tex3]k-5=-4[/tex3] e [tex3]n-8=-7[/tex3] (pois se k-5=-8 teríamos [tex3]k[/tex3] negativo).
Daí a resposta do problema é [tex3]6+1=\boxed{7}[/tex3]
[tex3]\frac{5n-12}{n-8}=k \iff 5n-12=nk-8k \iff 5n+8k-nk=12.[/tex3]
Veja, além disso, que [tex3](n-8)(k-5)=nk-5n-8k+40 \iff -nk+5n+8k=40-(n-8)(k-5),[/tex3] e inserindo isso na nossa equação:
[tex3]40-(n-8)(k-5)=12 \iff (n-8)(k-5)=28.[/tex3]
Temos [tex3]28=2^2 \cdot 7.[/tex3] Os seis pares de números inteiros que multiplicados dão 28 são:
1, 28 ; -1, -28
2, 14 ; -2, -14
4, 7 ; -4, -7
Como [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] são inteiros, o par [tex3](n-8, \; \; k-5)[/tex3] precisa ser um dos seis pares acima. Mas ainda há a restrição de que [tex3]n[/tex3] e [tex3]k[/tex3] têm de ser naturais, ou seja, inteiros não-negativos.
Daí, é fácil verificar que os pares (-1, -28) e (-2, -14) têm de ser eliminados.
Contabilizando os três pares (1, 28), (2, 14), (4, 7) há no total 6 valores possíveis para [tex3]n[/tex3] (pois, para cada par, escolhemos qual número seria o n-8 e qual seria o k-5, ou seja, há 2 soluções distintas por par).
Já para o par (-4, -7), só há uma solução, que é [tex3]k-5=-4[/tex3] e [tex3]n-8=-7[/tex3] (pois se k-5=-8 teríamos [tex3]k[/tex3] negativo).
Daí a resposta do problema é [tex3]6+1=\boxed{7}[/tex3]
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