Olimpíadas ⇒ Fatoração e quadrados perfeitos Tópico resolvido

[DudaS]

Sejam K = {p1, p2, …, p2022} um conjunto de 2022 números primos distintos e S o conjunto dos números naturais que admitem apenas esses primos em sua fatoração. Qual a maior quantidade de elemento que podemos escolher de S de modo que o produto de quaisquer dois deles NÃO seja um quadrado perfeito?
a) 2022
b) 2023
c) 2^2021
d) 2^2022
e) 2022^2022

[Kakashi]

Considere [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

elementos de [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

:

[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3]

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[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3]

.

[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3]

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[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3]

.

Logo,

[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]

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[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]

Para que o produto não seja quadrado perfeito é necessário que para algum [tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3]

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[tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3]

seja válido que [tex3]\alpha_i[/tex3]

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[tex3]\alpha_i[/tex3]

e [tex3]\beta_i[/tex3]

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[tex3]\beta_i[/tex3]

apresentam paridade distintas.

Como a paridade das potência dos números em [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

na fatoração em primos pode ser escolhida de [tex3]2^{2022}[/tex3]

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[tex3]2^{2022}[/tex3]

formas diferentes, [tex3]S[/tex3]

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[tex3]S[/tex3]

tem no máximo [tex3]2^{2022}[/tex3]

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[tex3]2^{2022}[/tex3]

elementos.

Item d

[FelipeMartin]

Kakashi, pode acontecer de [tex3]\alpha_i=\beta_i=0[/tex3]

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[tex3]\alpha_i=\beta_i=0[/tex3]

, certo?

[Kakashi]

Sim, conta como paridade par.