Sejam K = {p1, p2, …, p2022} um conjunto de 2022 números primos distintos e S o conjunto dos números naturais que admitem apenas esses primos em sua fatoração. Qual a maior quantidade de elemento que podemos escolher de S de modo que o produto de quaisquer dois deles NÃO seja um quadrado perfeito?
a) 2022
b) 2023
c) 2^2021
d) 2^2022
e) 2022^2022
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Fatoração e quadrados perfeitos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2024
20
09:25
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Considere [tex3]2[/tex3]
[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3] .
[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3] .
Logo,
[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]
Para que o produto não seja quadrado perfeito é necessário que para algum [tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3] seja válido que [tex3]\alpha_i[/tex3] e [tex3]\beta_i[/tex3] apresentam paridade distintas.
Como a paridade das potência dos números em [tex3]S[/tex3] na fatoração em primos pode ser escolhida de [tex3]2^{2022}[/tex3] formas diferentes, [tex3]S[/tex3] tem no máximo [tex3]2^{2022}[/tex3] elementos.
Item d
elementos de [tex3]S[/tex3]
:[tex3]m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}}[/tex3] .
[tex3]n=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\ldots p_{2022}^{\beta_{2022}}[/tex3] .
Logo,
[tex3]mn=p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\ldots p_{2022}^{\alpha_{2022}+\beta_{2022}}[/tex3]
Para que o produto não seja quadrado perfeito é necessário que para algum [tex3]i\leq 2022,~i\in \mathbb{N}[/tex3] seja válido que [tex3]\alpha_i[/tex3] e [tex3]\beta_i[/tex3] apresentam paridade distintas.
Como a paridade das potência dos números em [tex3]S[/tex3] na fatoração em primos pode ser escolhida de [tex3]2^{2022}[/tex3] formas diferentes, [tex3]S[/tex3] tem no máximo [tex3]2^{2022}[/tex3] elementos.
Item d
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- Última visita: 26-04-24
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Fev 2024
20
09:53
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Kakashi, pode acontecer de [tex3]\alpha_i=\beta_i=0[/tex3]
, certo?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Fev 2024
20
10:45
Re: Fatoração e quadrados perfeitos
Sim, conta como paridade par.
Editado pela última vez por Kakashi em 20 Fev 2024, 11:14, em um total de 1 vez.
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