Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ (Cone Sul/TST-2016)Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2023
24
08:24
(Cone Sul/TST-2016)Equação
Considere os 15 trinômios do segundo grau x²-pix+qi onde (p1,p2,...p15,q1q2,...,,q15) é uma permutação de (1,2,....,30).Uma raiz desse trinômio é dita favorável se esta raiz é maior que 20. Se M o número total de raízes favoráveis destes 15 trinômios. Determine o maior valor possível de M.
Fev 2024
20
10:38
Re: (Cone Sul/TST-2016)Equação
Cada trinômio possui no máximo uma raíz favorável
Suponha por absurdo que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo
[tex3]40>x_1+x_2=p_i[/tex3]
Contudo [tex3]p_i\leq 30[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] é menor ou igual a [tex3]10[/tex3]
Sejam [tex3]p_i[/tex3] e [tex3]q_i[/tex3] números que gerem um trinômio com uma raiz favorável, desse modo
[tex3]20<\dfrac{p_i+\sqrt{p_i^2-4q_i}}{2}<\dfrac{p_i+p_i}{2}=p_i[/tex3]
Concluímos que os possíveis valores de [tex3]p_i[/tex3] que geram raízes favoráveis são [tex3]\{21,~22,~\ldots~,~30\}[/tex3]
Um exemplo com [tex3]10[/tex3] raízes favoráveis
Um conjunto de [tex3]10[/tex3] pares ordenados que geram raízes favoráveis é [tex3](p_i, ~q_i)[/tex3] é [tex3]\{(21,~1),~(22,~2),~(23,~3),~(24,~4),~(25,~5),~(26,~6),~(27,~7),~(28,~8),~(29,~9),~(30,~10)\}[/tex3] .
Mostremos que o par [tex3](20+k,~k),~k\geq1[/tex3] geram raízes favoráveis.
Note que
[tex3]\dfrac{20+k+\sqrt{(20+k)^2-4k}}{2}>\dfrac{20+k+\sqrt{400}}{2}>20[/tex3]
Concluímos que [tex3]M\leq10[/tex3].
Suponha por absurdo que [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] sejam duas raízes favoráveis de um trinômio, logo
[tex3]40>x_1+x_2=p_i[/tex3]
Contudo [tex3]p_i\leq 30[/tex3] .
[tex3]M[/tex3] é menor ou igual a [tex3]10[/tex3]
Sejam [tex3]p_i[/tex3] e [tex3]q_i[/tex3] números que gerem um trinômio com uma raiz favorável, desse modo
[tex3]20<\dfrac{p_i+\sqrt{p_i^2-4q_i}}{2}<\dfrac{p_i+p_i}{2}=p_i[/tex3]
Concluímos que os possíveis valores de [tex3]p_i[/tex3] que geram raízes favoráveis são [tex3]\{21,~22,~\ldots~,~30\}[/tex3]
Um exemplo com [tex3]10[/tex3] raízes favoráveis
Um conjunto de [tex3]10[/tex3] pares ordenados que geram raízes favoráveis é [tex3](p_i, ~q_i)[/tex3] é [tex3]\{(21,~1),~(22,~2),~(23,~3),~(24,~4),~(25,~5),~(26,~6),~(27,~7),~(28,~8),~(29,~9),~(30,~10)\}[/tex3] .
Mostremos que o par [tex3](20+k,~k),~k\geq1[/tex3] geram raízes favoráveis.
Note que
[tex3]\dfrac{20+k+\sqrt{(20+k)^2-4k}}{2}>\dfrac{20+k+\sqrt{400}}{2}>20[/tex3]
Concluímos que [tex3]M\leq10[/tex3].
Editado pela última vez por Kakashi em 20 Fev 2024, 10:42, em um total de 2 vezes.
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