Olá gente, eu pensei numa solução para um problema, para ela diferente da proposta e não sei se a minha é coerente. Poderiam ver se ela faz sentido, por favor? Segue o problema com minha solução.
Dados os primos p e q satisfazendo:
[tex3]q | p^2+1[/tex3]
e [tex3]p | q^2-1[/tex3]
,
Prove que [tex3]p+q+1[/tex3]
é composto.
Solução que encontrei:
[tex3]q^2\equiv1(mod p)[/tex3]
e, por Fermat, [tex3]q^{p-1}\equiv q^2\equiv1(mod p)[/tex3]
. Desse modo, [tex3]p-1=2k[/tex3]
, o que implica que p é ímpar. Se [tex3]p | q^2-1[/tex3]
, [tex3]q^2-1[/tex3]
também é ímpar e, assim, [tex3]q^2[/tex3]
é par. Dessa forma, o único primo que se encaixaria é o 2 como o q. Se q for 2, [tex3]p+q+1=p+3[/tex3]
e, como p é ímpar, [tex3]p+3[/tex3]
é par e, portanto, [tex3]p+q+1[/tex3]
seria composto, já que [tex3]p+q+1\geq2[/tex3]
(apena maior e não maior e igual... Eu não sei o simbolo de inequação em Latex). No mais, obrigado!
Olimpíadas ⇒ Aritmética modular Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2023
15
16:51
Aritmética modular
Editado pela última vez por Dutra12 em 15 Jan 2023, 16:52, em um total de 1 vez.
Jan 2023
15
17:18
Re: Aritmética modular
isso é falso
[tex3]3|5^2-1 = 24[/tex3]
é um erro bem comum, agora se vc tem algo do tipo [tex3]par|alguma~coisa[/tex3] então você tem certeza que alguma coisa é par
mas um impar pode sim dividir algum número par.
aqui vc usou a ideia de ordem? se sim a gente só tem que ordem de p divide 2 mas a ordem pode ser 1 e nesse caso a gente teria 1| p-1 que não ajuda em nada
vou tentar resolver o problema e mandar a solução
Jan 2023
15
17:35
Re: Aritmética modular
obs: se a ordem for 1 a gente tem algo legal mas não diz nada sobre a paridade de p, era oq eu queria ter dito aqui
ou seja [tex3]pk = q \pm 1[/tex3]
[tex3]q = pk -1\implies p + q + 1 = p(k+1)[/tex3] que claramente é composto a não ser que k = 0 que é impossível ou k = -2 que também não é possível já que p + q + 1 > 0
então vamos supor que [tex3]q = pk + 1[/tex3]
então temos o seguinte
[tex3]pk + 1|p^2 + 1\implies pk + 1|p^2 -pk = p(p-k)\implies pk + 1| p - k[/tex3] oq provavelmente vai nos dar uma contradição por tamanho
[tex3]pk + 1 \le |p-k|\le p + k[/tex3] ou p-k = 0
[tex3]pk + 1 - p - k \le 0\\
(p-1)(k-1)\le 0[/tex3]
então como eles são positivos só tem como ter k = 1 e o trabalho fica fácil (termine ai, lembrando que q = p + 1 é primo)
agora se p = k, precisamos encontarr os primos [tex3]q = p^2 + 1[/tex3] mas ai a gente pode agora olhar para a paridade deles, não tem como q ser par, pois o único primo par é o 2 que é muito pequeno então p tem que ser par, ou seja p = 2, q = 5, então temos 2 + 5 + 1 = 8 que é composto
[tex3]p|(q-1)(q+1)\implies p|q + 1 ~ ou ~ p| q-1[/tex3]
ou seja [tex3]pk = q \pm 1[/tex3]
[tex3]q = pk -1\implies p + q + 1 = p(k+1)[/tex3] que claramente é composto a não ser que k = 0 que é impossível ou k = -2 que também não é possível já que p + q + 1 > 0
então vamos supor que [tex3]q = pk + 1[/tex3]
então temos o seguinte
[tex3]pk + 1|p^2 + 1\implies pk + 1|p^2 -pk = p(p-k)\implies pk + 1| p - k[/tex3] oq provavelmente vai nos dar uma contradição por tamanho
[tex3]pk + 1 \le |p-k|\le p + k[/tex3] ou p-k = 0
[tex3]pk + 1 - p - k \le 0\\
(p-1)(k-1)\le 0[/tex3]
então como eles são positivos só tem como ter k = 1 e o trabalho fica fácil (termine ai, lembrando que q = p + 1 é primo)
agora se p = k, precisamos encontarr os primos [tex3]q = p^2 + 1[/tex3] mas ai a gente pode agora olhar para a paridade deles, não tem como q ser par, pois o único primo par é o 2 que é muito pequeno então p tem que ser par, ou seja p = 2, q = 5, então temos 2 + 5 + 1 = 8 que é composto
Jan 2023
18
15:32
Re: Aritmética modular
Obrigado, Leozitz!!!
Editado pela última vez por Dutra12 em 18 Jan 2023, 15:33, em um total de 1 vez.
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