OlimpíadasSistema não linear

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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careca
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Sistema não linear

Mensagem não lida por careca »

Encontre as soluções reais do sistema: [tex3]\begin{cases}
(x+y)^3=z \\
(x+z)^3 = y \\
(y+z)^3=x
\end{cases}[/tex3]
Resposta

Demonstração...



Por que você quer tanto isso? - Porque disseram que eu não conseguiria - Homens de Honra

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snooplammer
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Re: Sistema não linear

Mensagem não lida por snooplammer »

[tex3]\begin{cases}
(x+y)^3=z \qquad (1) \\
(x+z)^3 = y \qquad (2) \\
(y+z)^3=x \qquad (3)
\end{cases}[/tex3]

[tex3](2) - (1):[/tex3]

[tex3](x+z)^3 - (x+y)^3 = y - z [/tex3]

[tex3](z - y)\big[(x+z)^2 + (x + y)^2 + (x+z)(x+y)\big] = y - z[/tex3]

[tex3](z-y)\big[(x+z)^2 + (x + y)^2 + (x+z)(x+y) + 1\big] = 0 [/tex3]

[tex3]z = y[/tex3] ou [tex3](x+z)^2 + (x + y)^2 + (x+z)(x+y) + 1 = 0 \iff (x+z)^2 + (x + y)^2 + (x+z)(x+y) = -1 [/tex3]

[tex3](3) - (1):[/tex3]

[tex3](y+z)^3 - (x+y)^3 = x - z [/tex3]

[tex3](z-x)\big[(y+z)^2 + (x+y)^2 + (y+z)(x+y)\big] = x - z[/tex3]

[tex3]z = x[/tex3] ou [tex3](y+z)^2 + (x+y)^2 + (y+z)(x+y) = -1[/tex3]

[tex3](3) - (2):[/tex3]

[tex3](y+z)^3 - (x+z)^3 = x - y[/tex3]

[tex3](y - x)\big[(y+z)^2+(x+z)^2 + (y+z)(x+z)\big] = x - y[/tex3]

[tex3]y = x[/tex3] ou [tex3](y+z)^2+(x+z)^2 + (y+z)(x+z) = -1[/tex3]

Tomando [tex3]x = y = z[/tex3] , vem que as soluções reais serão [tex3]x =0[/tex3] ou [tex3]x = \pm \frac{1}{2\sqrt2}[/tex3] . Falta demonstrar que pra [tex3]x\neq y \neq z[/tex3] não existe solução real

Última edição: snooplammer (Dom 19 Jun, 2022 15:18). Total de 1 vez.



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