[tex3]n^2 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2[/tex3]
[tex3]n^2k^2 = k^2(x_1)^2 + ... + k^2x_n^2[/tex3]
agora se [tex3]k^2 = a_1^2 + ... + a_k^2[/tex3]
a gente tem que
[tex3](nk)^2 = x_1^2(a_1^2 + ... + a_k)^2 + ... + x_n^2(a_1^2 + ... + a_k^2)[/tex3]
onde a gente tá somando k quadrados perfeitos n vezes ou seja, a gente tem nk quadrados perfeito, então vamos olhar para os números primos agora
obs: a gente tem q tomar cuidado quando k = 2 já que 2 n tem como
[tex3]p^2 = x_1^2 + ... + x_p^2[/tex3]
se p for 1 mod 4 então p pode ser escrito como soma de 2 quadrados
[tex3]p^2 = (a^2 + b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2 [/tex3]
note ainda q um desses tem que ser par, wlog a = 2c
[tex3]p^2 = (a^2+...+a^2) + (b^2 + ... + b^2) +9b^2+ 8c^2b^2[/tex3]
e eu afirmo q a gente tem a soma de a^2 + b^2 = p quadrados ali em cima
[tex3]a^2[/tex3]
dos [tex3]a^{2}[/tex3]
's, b^2 - 9 do segundo parenteses, 1 do (3b)^2 e mais 8 da última parcela.
se p for 3 mod 4 ai eu tentei uma coisa mas n funcionou, caso alguém tenha alguma ideia