Olimpíadas

Mensagem não lidapor **careca** » Qui 16 Jun, 2022 21:38 · Mensagem não lida por **careca** » Qui 16 Jun, 2022 21:38

Encontre todos os inteiros positivos n tais que n² pode ser escrito como soma de exatamente n quadrados perfeitos não nulos. Por exemplo, 3² pode ser escrito como 2² + 2² + 1²

Resposta

Demonstração

Mensagem não lidapor **leozitz** » Sex 17 Jun, 2022 14:59

Resposta

2 n tem
[tex3]3^2 = 2^2 + 2^2 + 1[/tex3]
[tex3]4^2 = 4 + 4 + 4 + 4[/tex3]
[tex3]5^2 = 4 + 4 + 4 + 4 + 9[/tex3]
[tex3]6^2 = 16 + 16 + 1 + 1 + 1 + 1[/tex3]
[tex3]7^2 = 49 = 16 + 16 + 16 + 1 = 4 + 4 + 4 + 4 + 16 + 16 + 1[/tex3]

[tex3]n^2 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2[/tex3]
[tex3]n^2k^2 = k^2(x_1)^2 + ... + k^2x_n^2[/tex3]
agora se [tex3]k^2 = a_1^2 + ... + a_k^2[/tex3] a gente tem que
[tex3](nk)^2 = x_1^2(a_1^2 + ... + a_k)^2 + ... + x_n^2(a_1^2 + ... + a_k^2)[/tex3] onde a gente tá somando k quadrados perfeitos n vezes ou seja, a gente tem nk quadrados perfeito, então vamos olhar para os números primos agora
obs: a gente tem q tomar cuidado quando k = 2 já que 2 n tem como
[tex3]p^2 = x_1^2 + ... + x_p^2[/tex3]

se p for 1 mod 4 então p pode ser escrito como soma de 2 quadrados
[tex3]p^2 = (a^2 + b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2 [/tex3]
note ainda q um desses tem que ser par, wlog a = 2c
[tex3]p^2 = (a^2+...+a^2) + (b^2 + ... + b^2) +9b^2+ 8c^2b^2[/tex3]
e eu afirmo q a gente tem a soma de a^2 + b^2 = p quadrados ali em cima
[tex3]a^2[/tex3] dos [tex3]a^{2}[/tex3] 's, b^2 - 9 do segundo parenteses, 1 do (3b)^2 e mais 8 da última parcela.

se p for 3 mod 4 ai eu tentei uma coisa mas n funcionou, caso alguém tenha alguma ideia

Mensagem não lidapor **leozitz** » Sex 17 Jun, 2022 15:21

1, 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,
[tex3]7^2 = 4 + 4 + 4 + 4 + 16 + 16 + 1[/tex3]
[tex3]11^2 = 121 = 81 + 16 + 4 + 16 + 4 = 9\cdot 9 + 36 + 4 [/tex3]
[tex3]19^2 = 361 = 100 + 100 + 121 + 40 = 100 + 100 + 121 + 4*4 + 4*4 + 4 + 4\\
10^2\cdot 2 + 11^2 + 4\cdot8 + 1\cdot 8[/tex3]
eu posso aumentar o numero de quadrados em 3 se tiver 4 como quadrado
posso aumentar em 2 se tiver 9
talvez de para tentar fazer isso, escrever $p^2 = (p-1)^2 + 4k + c$ onde k é o maior possível tal que c é positivo ai nesse representação eu tenho k + c + 1 quadrados, ai eu vou trocando 4 por 1 + 1 + 1 + 1, isso faz a quantidade de quadrados aumentar em 3, eu poderia ainda usar a mesma ideia para o 9

Mensagem não lidapor **leozitz** » Dom 19 Jun, 2022 16:57

vou tentar novamente, se vc notar a parte q eu falei sobre p mod 4 n está completamente correta pq eu acabei assumindo ali q p n é da forma a^2 + 1
eu afirmo q todo número maior q 2 pode ser escrita daquela forma
[tex3](2k+1)^2 = (2k-1)^2 + 8k = (2k-1)^2 + 4\cdot 2k[/tex3] , ou seja, vale para todo ímpar
obs: a gente tem que tomar cuidado com o 1 aqui já q ai k = 0 mas 1 = 1^1 ent ok
[tex3](2k+2)^2 = (4k^2) + 8k + 4 = (4k^2) + 4 + 4\cdot 2k[/tex3]
aqui a gente tem que tomar cuidado com o 2 já que a gente ficaria com 2^2 = 4 q é verdade mas a gente só tem 1 quadrado, é tranquilo ver q para o 2 n tem como.

oq complicava quando eu tenta fazer isso antes era q eu ficava com a^2 = c^2 + alguma coisa - outra coisa
ai eu n conseguia achar uma forma de expressar alguma coisa - outra coisa como soma de poucos quadrados já q n tinha nenhuma fatoração aparente

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