Olimpíadas

joaoAlexandre

(i)Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii)Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três quadrados.

Questão (i)

Achei esse interessante, levou um tempinho. Se [tex3]n\in\mathbb{^+Z^*}[/tex3] , e [tex3]2n+1=a^2[/tex3] . Agora, perceba que, [tex3]2n+1[/tex3] é ímpar, o que implica que [tex3]a^2[/tex3] é ímpar, logo [tex3]a[/tex3] é ímpar.

Um número ímpar pode ser escrito na forma [tex3]a=2b+1[/tex3] , então, veja os seguintes passos:

[tex3]2n+1=a^2\\2n+1=\(2b+1\)^2\\2n+1=4b^2+4b+1\\2n+2=4b^2+4b+2\\n+1={\color{PineGreen}2b^2}+2b+1\\n+1={\color{PineGreen}b^2+b^2}+2b+1\\n+1=b^2+{\color{Purple}b^2+2b+1}\\n+1=b^2+{\color{Purple}\(b+1\)^2}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{n+1=b^2+\(b+1\)^2~~~~\mbox{C.Q.D.}}[/tex3]

Questão (ii)

Esse foi um pouco um pouco mais complicado. A única coisa que temos é que [tex3]3n+1[/tex3] com certeza não é múltiplo de 3. Até que eu reparei que:

[tex3]1\equiv1(\mod3)\\1^2\equiv1(\mod3)[/tex3]

[tex3]2\equiv-1(\mod3)\\2^2=(-1)^2(\mod3)\\2^2=1(\mod3)[/tex3]

Ou seja, tanto:

[tex3]3n+1=\cases{(3c+1)^2\\(3d-1)^2}[/tex3]

Nesse caso, como não terá muita diferença eu vou mudar para:

[tex3]3n+1=\(3e\pm1\)^2[/tex3]

Seguindo o desenvolvimento:

[tex3]3n+1=\(3e\pm1\)^2\\3n+1=9e^2\pm6e+1\\3n+3=9e^2\pm6e+3\\n+1={\color{PineGreen}3e^2}\pm2e+1\\n+1={\color{PineGreen}e^2+e^2+e^2}\pm2e+1\\n+1=e^2+e^2+{\color{Purple}e^2\pm2e+1}\\n+1=e^2+e^2+{\color{Purple}\(e\pm1\)^2}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{n+1=e^2+e^2+\(e\pm1\)^2~~~~\mbox{C.Q.D.}}[/tex3]

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