O valor aproximado será igual a :
a) 1
b) 1,25
c) 1,5
d) 1,75
Resposta
b
Olimpíadas ⇒ Soma Telescópica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2022
23
10:59
Soma Telescópica
Encontre A, B e C que tornam verdadeira a identidade [tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1) (n + 2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1} + \frac{C}{n + 2}[/tex3]
e utilize esse resultado para calcular o valor da soma [tex3]\frac{3}{1 . 2 . 3} + \frac{5}{2.3.4} + \frac{7}{3.4.5} + \frac{9}{5.6.7} + ...+\frac{2009}{1004.1005.1006}[/tex3]
O valor aproximado será igual a :
a) 1
b) 1,25
c) 1,5
d) 1,75
b
Okay, minha dúvida é a seguinte : como faz a aplicação da soma telescópica ?
O valor aproximado será igual a :
a) 1
b) 1,25
c) 1,5
d) 1,75
b
- Anexos
-
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-
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Fev 2022
23
12:36
Re: Soma Telescópica
Encontrando os Valores A, B, C
Imagino que a sua confusão se de aos sinais de [tex3](+)[/tex3] , ocorre que, achando os valores de A, B, C, pelo menos um será menos, possibilitando a soma telescópica. Vamos iniciar por:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
Vou te adiantar que inicialmente não é algo tão bonito, precisamos colocar todos na mesma base:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)}{n(n+1)(n + 2)}[/tex3]
[tex3]2n + 1=A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)[/tex3]
Agora precisamos evidenciar os valores em [tex3]n^2[/tex3] , [tex3]n[/tex3] e [tex3]n^0[/tex3] :
[tex3]2n + 1=n^2(A+B+C)+n(3A+2B+C)+(2A)[/tex3]
Agora fica mais fácil, sabemos que na direita, não tem termo [tex3]n^2[/tex3] , logo, [tex3](A+B+C)=0[/tex3] . De outro modo, tem termo [tex3]n[/tex3] , então [tex3]2n=n(3A+2B+C)[/tex3] , por último, [tex3]1=2A[/tex3]
Montamos então o sistema:
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\1=2A\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\A=\frac12\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\end{cases}[/tex3]
o de baixo menos o de cima*
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}A}+B[/tex3]
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}\frac12}+B[/tex3]
[tex3]B=1[/tex3]
Voltando na primeira:
[tex3]0=A+B+C[/tex3]
[tex3]0=2A+2B+2C[/tex3]
[tex3]0=1+2\cdot1+2C[/tex3]
[tex3]C=-\frac32[/tex3]
Com isso temos que:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{\frac12}{n}+\frac 1{n+1}-\frac {\frac 32}{(n+2)}[/tex3]
Nisso temos uma soma telescópica sendo (não das mais bonitas).
Soma Telescópica
Como essa soma telescópica não é nem um pouco bonita, eu vou dividir ela em partes, temos então:
[tex3]\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=~~\sum_{n=1}^{1004}\frac{\frac12}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\sum_{n=1}^{1004}\frac {\frac 32}{n+2}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=1}^{1004}\frac {1}{n+2}[/tex3]
Vamos agora realizar mudanças nos limites de soma:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{PineGreen}n=0}^{\color{PineGreen}1003}\frac{1}{\color{PineGreen}n+1}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{\color{Magenta}n=2}^{\color{Magenta}1005}\frac {1}{\color{Magenta}n+1}[/tex3]
Agora irei tirar valores específicos dos somatórios:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{Purple}n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{\color{NavyBlue}n=2}^{\color{NavyBlue}1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{\color{Brown}1003}\frac {1}{n+1}{\color{Purple}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}{\color{NavyBlue}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}{\color{Brown}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}[/tex3]
Colocando em evidência a primeira parte:
[tex3]=~~{\color{Red}\frac12\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{n=2}^{1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{1003}\frac {1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\(\frac12+1-\frac32\)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\cancel{\color{Black}(0)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
Da para juntar umas partes aí? Dá... precisa? Não. Vamos só substituir os valores então:
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}^0}~~-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}^0}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{PineGreen}\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}~~+~~{\color{Purple}\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}}[/tex3]
[tex3]={\color{PineGreen}\frac12\(\frac11+\frac12\)}+{\color{Purple}\frac1{2}}[/tex3]
[tex3]=\frac34+\frac12[/tex3]
[tex3]=\frac54[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}\approx1.25}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]
nota: deve haver meios mais fáceis de manipular as somas, mas eu não tenho tanto conhecimento em somatórios, então fui por um caminho mais lento
Imagino que a sua confusão se de aos sinais de [tex3](+)[/tex3] , ocorre que, achando os valores de A, B, C, pelo menos um será menos, possibilitando a soma telescópica. Vamos iniciar por:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
Vou te adiantar que inicialmente não é algo tão bonito, precisamos colocar todos na mesma base:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)}{n(n+1)(n + 2)}[/tex3]
[tex3]2n + 1=A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)[/tex3]
Agora precisamos evidenciar os valores em [tex3]n^2[/tex3] , [tex3]n[/tex3] e [tex3]n^0[/tex3] :
[tex3]2n + 1=n^2(A+B+C)+n(3A+2B+C)+(2A)[/tex3]
Agora fica mais fácil, sabemos que na direita, não tem termo [tex3]n^2[/tex3] , logo, [tex3](A+B+C)=0[/tex3] . De outro modo, tem termo [tex3]n[/tex3] , então [tex3]2n=n(3A+2B+C)[/tex3] , por último, [tex3]1=2A[/tex3]
Montamos então o sistema:
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\1=2A\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\A=\frac12\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\end{cases}[/tex3]
o de baixo menos o de cima*
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}A}+B[/tex3]
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}\frac12}+B[/tex3]
[tex3]B=1[/tex3]
Voltando na primeira:
[tex3]0=A+B+C[/tex3]
[tex3]0=2A+2B+2C[/tex3]
[tex3]0=1+2\cdot1+2C[/tex3]
[tex3]C=-\frac32[/tex3]
Com isso temos que:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{\frac12}{n}+\frac 1{n+1}-\frac {\frac 32}{(n+2)}[/tex3]
Nisso temos uma soma telescópica sendo (não das mais bonitas).
Soma Telescópica
Como essa soma telescópica não é nem um pouco bonita, eu vou dividir ela em partes, temos então:
[tex3]\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=~~\sum_{n=1}^{1004}\frac{\frac12}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\sum_{n=1}^{1004}\frac {\frac 32}{n+2}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=1}^{1004}\frac {1}{n+2}[/tex3]
Vamos agora realizar mudanças nos limites de soma:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{PineGreen}n=0}^{\color{PineGreen}1003}\frac{1}{\color{PineGreen}n+1}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{\color{Magenta}n=2}^{\color{Magenta}1005}\frac {1}{\color{Magenta}n+1}[/tex3]
Agora irei tirar valores específicos dos somatórios:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{Purple}n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{\color{NavyBlue}n=2}^{\color{NavyBlue}1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{\color{Brown}1003}\frac {1}{n+1}{\color{Purple}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}{\color{NavyBlue}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}{\color{Brown}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}[/tex3]
Colocando em evidência a primeira parte:
[tex3]=~~{\color{Red}\frac12\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{n=2}^{1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{1003}\frac {1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\(\frac12+1-\frac32\)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\cancel{\color{Black}(0)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
Da para juntar umas partes aí? Dá... precisa? Não. Vamos só substituir os valores então:
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}^0}~~-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}^0}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{PineGreen}\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}~~+~~{\color{Purple}\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}}[/tex3]
[tex3]={\color{PineGreen}\frac12\(\frac11+\frac12\)}+{\color{Purple}\frac1{2}}[/tex3]
[tex3]=\frac34+\frac12[/tex3]
[tex3]=\frac54[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}\approx1.25}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]
nota: deve haver meios mais fáceis de manipular as somas, mas eu não tenho tanto conhecimento em somatórios, então fui por um caminho mais lento
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Fev 2022
23
18:19
Re: Soma Telescópica
Vlw pela resolução, muito bemm feita. Agora, uma última dúvida. Até o início da soma telescópica entendi muito bem, agr quando começa a cancelar...aí que me pegou. Como esses cancelamentos surgem ?LostWalker escreveu: ↑Qua 23 Fev, 2022 12:36Encontrando os Valores A, B, C
Imagino que a sua confusão se de aos sinais de [tex3](+)[/tex3] , ocorre que, achando os valores de A, B, C, pelo menos um será menos, possibilitando a soma telescópica. Vamos iniciar por:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
Vou te adiantar que inicialmente não é algo tão bonito, precisamos colocar todos na mesma base:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)}{n(n+1)(n + 2)}[/tex3]
[tex3]2n + 1=A(n+1)(n+2)+B(n)(n+2)+C(n)(n+1)[/tex3]
Agora precisamos evidenciar os valores em [tex3]n^2[/tex3] , [tex3]n[/tex3] e [tex3]n^0[/tex3] :
[tex3]2n + 1=n^2(A+B+C)+n(3A+2B+C)+(2A)[/tex3]
Agora fica mais fácil, sabemos que na direita, não tem termo [tex3]n^2[/tex3] , logo, [tex3](A+B+C)=0[/tex3] . De outro modo, tem termo [tex3]n[/tex3] , então [tex3]2n=n(3A+2B+C)[/tex3] , por último, [tex3]1=2A[/tex3]
Montamos então o sistema:
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\1=2A\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\\A=\frac12\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}0=A+B+C\\2=3A+2B+C\end{cases}[/tex3]
o de baixo menos o de cima*
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}A}+B[/tex3]
[tex3]2=2\cdot{\color{PineGreen}\frac12}+B[/tex3]
[tex3]B=1[/tex3]
Voltando na primeira:
[tex3]0=A+B+C[/tex3]
[tex3]0=2A+2B+2C[/tex3]
[tex3]0=1+2\cdot1+2C[/tex3]
[tex3]C=-\frac32[/tex3]
Com isso temos que:
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac An+\frac B{n+1}+\frac C{n+2}[/tex3]
[tex3]\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=\frac{\frac12}{n}+\frac 1{n+1}-\frac {\frac 32}{(n+2)}[/tex3]
Nisso temos uma soma telescópica sendo (não das mais bonitas).
Soma Telescópica
Como essa soma telescópica não é nem um pouco bonita, eu vou dividir ela em partes, temos então:
[tex3]\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}=~~\sum_{n=1}^{1004}\frac{\frac12}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\sum_{n=1}^{1004}\frac {\frac 32}{n+2}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=1}^{1004}\frac{1}{n}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=1}^{1004}\frac {1}{n+2}[/tex3]
Vamos agora realizar mudanças nos limites de soma:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{PineGreen}n=0}^{\color{PineGreen}1003}\frac{1}{\color{PineGreen}n+1}~~+~~\sum_{n=1}^{1004}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{\color{Magenta}n=2}^{\color{Magenta}1005}\frac {1}{\color{Magenta}n+1}[/tex3]
Agora irei tirar valores específicos dos somatórios:
[tex3]=~~\frac12\sum_{\color{Purple}n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{\color{NavyBlue}n=2}^{\color{NavyBlue}1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{\color{Brown}1003}\frac {1}{n+1}{\color{Purple}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}{\color{NavyBlue}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}{\color{Brown}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}[/tex3]
Colocando em evidência a primeira parte:
[tex3]=~~{\color{Red}\frac12\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}~~+~~\sum_{n=2}^{1003}\frac 1{n+1}~~-~~\frac 32\sum_{n=2}^{1003}\frac {1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\(\frac12+1-\frac32\)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{Red}\cancel{\color{Black}(0)\sum_{n=2}^{1003}\frac{1}{n+1}}}~~+~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}~~-\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}[/tex3]
Da para juntar umas partes aí? Dá... precisa? Não. Vamos só substituir os valores então:
[tex3]=~~\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}~~+~~\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}~~+~{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sum_{n=1004}^{1004}\frac1{n+1}}^0}~~-{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac32\sum_{n=1004}^{1005}\frac1{n+1}}^0}[/tex3]
[tex3]=~~{\color{PineGreen}\frac12\sum_{n=0}^1\frac1{n+1}}~~+~~{\color{Purple}\sum_{n=1}^1\frac1{n+1}}[/tex3]
[tex3]={\color{PineGreen}\frac12\(\frac11+\frac12\)}+{\color{Purple}\frac1{2}}[/tex3]
[tex3]=\frac34+\frac12[/tex3]
[tex3]=\frac54[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{\sum_{n=1}^{1004}\frac{2n + 1}{n(n+1)(n + 2)}\approx1.25}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]
nota: deve haver meios mais fáceis de manipular as somas, mas eu não tenho tanto conhecimento em somatórios, então fui por um caminho mais lento
?
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Fev 2022
23
21:26
Re: Soma Telescópica
De maneira curta e grossa, o enunciado pediu um valor aproximado, aqueles números já eram tão pequenos que eram irrelevantes, esqueci de avisar issoSantino, sorry
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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