Resposta
[tex3]\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}-1}{2}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Circulos tangentes.
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2022
15
13:15
Circulos tangentes.
( Clubes Cabri) Na construção seguinte calcular AB/BC.
[tex3]\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}-1}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}-1}{2}[/tex3]
- Anexos
-
- Screenshot_2022-02-14-17-54-03-1.png (203.39 KiB) Exibido 783 vezes
Última edição: geobson (Seg 14 Fev, 2022 23:07). Total de 1 vez.
-
LostWalker 
- Mensagens: 680
- Registrado em: Seg 04 Mar, 2019 16:34
- Última visita: 10-04-24
Fev 2022
15
13:38
Re: Circulos tangentes.
Sendo as circunferências pequenas de raio [tex3]r[/tex3]
e circunferência interna de raio [tex3]R[/tex3]
Eu estou com preguiça de fazer desenhos, mas mentalize assim: Liguei todos os centros das esferas menores à circunferência do meio, todos os ângulos serão iguais, e teremos que cada ângulo [tex3]\alpha[/tex3] é [tex3]\boxed{8\alpha=360^\circ\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=45^\circ}[/tex3] .
Tome agora um triângulo arbitrário formado por segmentos que unem duas circunferências pequenas a si mesmas e ao centro, os lados serão [tex3](R+r),\,\,(R+r),\,\,2r[/tex3] , tomando então o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] , podemos dizer que:
[tex3](2r)^2=(R+r)^2+(R+r)^2+2(R+r)(R+r)\cdot{\color{PineGreen}\cos(45^\circ)}\\4r^2=2(R+r)^2+2(R+r)^2\cdot{\color{PineGreen}\frac{\sqrt2}2}\\4r^2=(R+r)^2(2+\sqrt2)[/tex3]
Note agora uma mudança, o que queremos, em função de [tex3]r,R[/tex3] é [tex3]x=\frac{R+r}{r}[/tex3] , então, vamos dividir essa equação por [tex3]r^2[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{4r^2}{r^2}=\frac{(R+r)^2}{r^2}(2+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]4=x^2(2+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4}{(2+\sqrt2)}\cdot{\color{Purple}\frac{(2-\sqrt2)}{(2-\sqrt2)}}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4(2-\sqrt2)}{2^2-\sqrt2^2}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4(2-\sqrt2)}{2}[/tex3]
[tex3]x^2=2(2-\sqrt2)[/tex3]
[tex3]x=\pm\sqrt{2(2-\sqrt2)}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\sqrt{2(2-\sqrt2)}}[/tex3]
Eu estou com preguiça de fazer desenhos, mas mentalize assim: Liguei todos os centros das esferas menores à circunferência do meio, todos os ângulos serão iguais, e teremos que cada ângulo [tex3]\alpha[/tex3] é [tex3]\boxed{8\alpha=360^\circ\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=45^\circ}[/tex3] .
Tome agora um triângulo arbitrário formado por segmentos que unem duas circunferências pequenas a si mesmas e ao centro, os lados serão [tex3](R+r),\,\,(R+r),\,\,2r[/tex3] , tomando então o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] , podemos dizer que:
[tex3](2r)^2=(R+r)^2+(R+r)^2+2(R+r)(R+r)\cdot{\color{PineGreen}\cos(45^\circ)}\\4r^2=2(R+r)^2+2(R+r)^2\cdot{\color{PineGreen}\frac{\sqrt2}2}\\4r^2=(R+r)^2(2+\sqrt2)[/tex3]
Note agora uma mudança, o que queremos, em função de [tex3]r,R[/tex3] é [tex3]x=\frac{R+r}{r}[/tex3] , então, vamos dividir essa equação por [tex3]r^2[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{4r^2}{r^2}=\frac{(R+r)^2}{r^2}(2+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]4=x^2(2+\sqrt2)[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4}{(2+\sqrt2)}\cdot{\color{Purple}\frac{(2-\sqrt2)}{(2-\sqrt2)}}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4(2-\sqrt2)}{2^2-\sqrt2^2}[/tex3]
[tex3]x^2=\frac{4(2-\sqrt2)}{2}[/tex3]
[tex3]x^2=2(2-\sqrt2)[/tex3]
[tex3]x=\pm\sqrt{2(2-\sqrt2)}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\sqrt{2(2-\sqrt2)}}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 8 Respostas
- 16625 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 2 Respostas
- 6932 Exibições
-
Última msg por geobson
-
- 4 Respostas
- 10047 Exibições
-
Última msg por geobson
-
- 9 Respostas
- 1661 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 0 Respostas
- 4220 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
