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Copie o triângulo [tex3]\triangle ANC[/tex3]
sobre o lado [tex3]AB[/tex3]
de forma que [tex3]\triangle ABN' \cong \triangle ACN[/tex3]
. Podemos fazer isso, pois [tex3]AB = AC[/tex3]
.
Pronto. Basta olhar pro [tex3]\triangle MBN'[/tex3]
que tem [tex3]\angle MBN' = \angle N'BA + \angle ABM = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}[/tex3]
.
Logo, por Pitágoras, [tex3]MN' = MN[/tex3]
o que implica que [tex3]\triangle AMN' \cong \triangle AMN[/tex3]
por terem os mesmos três lados (caso LLL), o que implica que:
[tex3]\angle MAN = \angle MAN' = \angle BAM + \angle CAN = \angle BAC - \angle MAN \iff 2 \angle MAN = 90^{\circ} \iff \angle MAN = 45^{\circ}[/tex3]
.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.