Olimpíadas ⇒ raciocínio lógico (probabilidade) Tópico resolvido

[rean]

Quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximinizar a probabilidade de se obter exatamente um 2?

resp. 5 ou 6

[petras]

rean,
Questão da XXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)


Suponha que os dados estão numerados de 1 a n. A probabilidade de que somente o dado No. 1 resulte em 2 é:
[tex3]\frac{1}{6}.\frac{5}{6}.\frac{5}{6}....\frac{5}{6}=\frac{5^{n-1}}{6^n}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{6}.\frac{5}{6}.\frac{5}{6}....\frac{5}{6}=\frac{5^{n-1}}{6^n}

[/tex3]

Analogamente, a probabilidade de que somente o dado k, (1[tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

k [tex3]\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq [/tex3]

n) resulte em 2 é
[tex3]\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot ...\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{5}{6}=\frac{5^{n-1}}{6^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot ...\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot\frac{5}{6}=\frac{5^{n-1}}{6^n}[/tex3]

Portanto, a probabilidade de obter exatamente um 2 é

[tex3]P_n = \frac{5^{n-1}}{6^n}+\frac{5^{n-1}}{6^n}+...+\frac{5^{n-1}}{6^n}=n.\frac{5^{n-1}}{6^n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_n = \frac{5^{n-1}}{6^n}+\frac{5^{n-1}}{6^n}+...+\frac{5^{n-1}}{6^n}=n.\frac{5^{n-1}}{6^n}[/tex3]

Agora observe que:[tex3]P_n \geq P_{n+1} \Leftrightarrow n.\frac{5^{n-1}}{6^n}\geq (n+1).\frac{5^{n-1}}{6^n} \Leftrightarrow 6n\geq 5(n+1) \Leftrightarrow n\geq 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_n \geq P_{n+1} \Leftrightarrow n.\frac{5^{n-1}}{6^n}\geq (n+1).\frac{5^{n-1}}{6^n} \Leftrightarrow 6n\geq 5(n+1) \Leftrightarrow n\geq 5[/tex3]

Para n = 5, ocorre a igualdade (P5 = P6), [tex3]P_5=P_6> P_7 > P_8 > P_9...e~P_1 < P_2 < P_3 < P_4 < P_5=P_6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_5=P_6> P_7 > P_8 > P_9...e~P_1 < P_2 < P_3 < P_4 < P_5=P_6[/tex3]

E a probabilidade é máxima para n = 5 ou n = 6


(Solução:OBM)