Olimpíadas ⇒ Polônia 2011 — Aritmética Tópico resolvido

[Babi123]

Determine todos os inteiros não negativos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]2^x+5^y[/tex3] é um quadrado perfeito.

[FelipeMartin]

Se [tex3]x[/tex3] for par, [tex3]x = 2k[/tex3]:

[tex3]n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a[/tex3]
Se [tex3]a \neq 0[/tex3], o lado direito é [tex3]0 \mod 5[/tex3] e o lado esquerdo com certeza não é zero [tex3]\mod 5[/tex3].
Se [tex3]a = 0[/tex3], [tex3]2^{k+1} = 5^y -1[/tex3] podemos ver que [tex3]y =1[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é solução, porém para [tex3]y>1[/tex3] temos que se [tex3]y[/tex3] for par, o lado direito será divisível por [tex3]3[/tex3] e o esquerdo não. Se [tex3]y[/tex3] for ímpar teremos: [tex3]2^{k+1} = (5-1)(1+5+5^2+...+5^{y-1})[/tex3] e [tex3]1+5+...+5^{y-1}[/tex3] é a soma de um número ímpar de números ímpares, logo, é ímpar e tem fatores diferentes de [tex3]2[/tex3]. Então a única opção é [tex3]y=k=1 \implies n =3[/tex3].
Para [tex3]x[/tex3] par, só temos a solução [tex3]9 = 4+5[/tex3]

vejamos o que acontece se [tex3]x=1[/tex3]:

[tex3]n^2 = 2 + 5^y[/tex3], então [tex3]n^2 \equiv 3 \mod 4[/tex3] o que é absurdo.

Falta pensar num [tex3]x[/tex3] ímpar qualquer.

[FelipeMartin]

Se [tex3]x = 2k+1[/tex3] para [tex3]k \geq 1[/tex3], teremos:

[tex3]2^x = 2 \cdot 4^k \equiv 2\cdot (-1)^k \mod 5[/tex3]

O absurdo é que [tex3]n^2[/tex3] só pode deixar restos [tex3]\pm 1 \mod 5[/tex3].

Prova: [tex3]n \mod 5 \in \{ -2,-1,0,1,2\} \implies n^2 \mod 5 \in \{4,1,0,1,4\} = \{0,1,-1\} \mod 5[/tex3]

É impossível isso ocorrer: [tex3]\pm 1 = 2 \cdot \pm 1 + 0[/tex3].

Calma, podemos ter [tex3]y=0[/tex3], daí [tex3]-1 = -2 +1[/tex3] funcionaria:

[tex3]2^{2k+1} = n^2-1 \implies 2^{2k+1} = (n-1)(n+1)[/tex3] e novamente temos um sistema:

[tex3]n-1 = 2^a[/tex3]
[tex3]n+1 = 2^{b}[/tex3]
[tex3]a+b = 2k+1[/tex3] e [tex3]b>a[/tex3].

[tex3]2^b - 2^a = 2[/tex3]
[tex3]2^{b-1} - 2^{a-1} = 1[/tex3]
temos par menos par dando ímpar, logo, [tex3]a=1[/tex3] e [tex3]b=2[/tex3].

Então, temos a solução [tex3]9 = 8+1[/tex3] também. Duas soluções.