OlimpíadasPolônia 2011 — Aritmética

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Babi123
2 - Nerd
Mensagens: 1371
Registrado em: Sex 28 Jul, 2017 21:05
Última visita: 19-04-24
Mar 2024 31 00:38

Polônia 2011 — Aritmética

Mensagem não lida por Babi123 »

Determine todos os inteiros não negativos [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] tais que [tex3]2^x+5^y[/tex3] é um quadrado perfeito.

Última edição: Babi123 (Dom 31 Mar, 2024 00:39). Total de 1 vez.



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2216
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 13-04-24
Mar 2024 31 06:21

Re: Polônia 2011 — Aritmética

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Se [tex3]x[/tex3] for par, [tex3]x = 2k[/tex3] :

[tex3]n^2 = 2^{2k} + 5^y \implies (n - 2^{k})(n+2^k) = 5^y[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
n-2^{k}=5^a \\
n + 2^k=5^{y-a}
\end{cases}[/tex3]
[tex3]2^{k+1} = 5^{y-a}-5^a[/tex3]
Se [tex3]a \neq 0[/tex3] , o lado direito é [tex3]0 \mod 5[/tex3] e o lado esquerdo com certeza não é zero [tex3]\mod 5[/tex3] .
Se [tex3]a = 0[/tex3] , [tex3]2^{k+1} = 5^y -1[/tex3] podemos ver que [tex3]y =1[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é solução, porém para [tex3]y>1[/tex3] temos que se [tex3]y[/tex3] for par, o lado direito será divisível por [tex3]3[/tex3] e o esquerdo não. Se [tex3]y[/tex3] for ímpar teremos: [tex3]2^{k+1} = (5-1)(1+5+5^2+...+5^{y-1})[/tex3] e [tex3]1+5+...+5^{y-1}[/tex3] é a soma de um número ímpar de números ímpares, logo, é ímpar e tem fatores diferentes de [tex3]2[/tex3] . Então a única opção é [tex3]y=k=1 \implies n =3[/tex3] .
Para [tex3]x[/tex3] par, só temos a solução [tex3]9 = 4+5[/tex3]

vejamos o que acontece se [tex3]x=1[/tex3] :

[tex3]n^2 = 2 + 5^y[/tex3] , então [tex3]n^2 \equiv 3 \mod 4[/tex3] o que é absurdo.

Falta pensar num [tex3]x[/tex3] ímpar qualquer.

Última edição: FelipeMartin (Dom 31 Mar, 2024 06:26). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (UESB 2011.1) Aritmética
    por dudaox » » em Pré-Vestibular
    8 Respostas
    830 Exibições
    Última msg por petras
  • Nova mensagem (UNIFOR-2011)- Modernismo
    por Literária » » em Literatura
    1 Respostas
    1363 Exibições
    Última msg por Menitham
  • Nova mensagem Escola Naval 2011
    por GauchoEN » » em IME / ITA
    1 Respostas
    2208 Exibições
    Última msg por JohnnyEN
  • Nova mensagem UNICID 2011 | Fatrito
    por girlpowers2 » » em Física I
    3 Respostas
    787 Exibições
    Última msg por lmsodre
  • Nova mensagem (Escola naval - 2011) Efeito Doppler
    por JohnnyEN » » em IME/ITA
    1 Respostas
    980 Exibições
    Última msg por GauchoEN

Voltar para “Olimpíadas”