Olimpíadas ⇒ (OBM-2016-N2)Equação Tópico resolvido
Mai 2023
23
09:49
(OBM-2016-N2)Equação
Os números reais a, b, r e s são tais que as raízes da equação x²-ax+b=0 são [tex3]\frac{1}{r}[/tex3]
e [tex3]\frac{1}{s}[/tex3]
e as raízes da equação x²-rx+s=0 são a e b. Sabendo que a>0, encontre seu valor.
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παθμ
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Mai 2023
23
16:20
Re: (OBM-2016-N2)Equação
Relações de Girard na primeira equação e na segunda equação, respectivamente:
[tex3]\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=a[/tex3] (1)
[tex3]\frac{1}{rs}=b[/tex3] (2)
[tex3]a+b=r[/tex3] (3)
[tex3]ab=s[/tex3] (4)
De (4), temos [tex3]b=\frac{s}{a}[/tex3] (5)
Plugando (5) em (2): [tex3]\frac{1}{rs}=\frac{s}{a}\rightarrow a=rs^2[/tex3] (6)
Plugando (6) e (2) em (3): [tex3]rs^2+\frac{1}{rs}=r\rightarrow r^2s^3+1=r^2s[/tex3] (7)
Plugando (6) em (1): [tex3]\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=rs^2\rightarrow r^2s^3=r+s[/tex3] (8)
Plugando (8) em (7): [tex3]r+s+1=r^2s\rightarrow sr^2-r-(s+1)=0[/tex3]
Resolvendo para [tex3]r[/tex3] , obtemos [tex3]r=\frac{1\pm \sqrt{(2s+1)^2}}{2s}=\frac{1\pm |2s+1|}{2s}[/tex3] .
As possibilidades para [tex3]|2s+1|[/tex3] são [tex3]2s+1[/tex3] ou [tex3]-(2s+1)[/tex3] . De todos os modos:
[tex3]r=\frac{1}{s}+1[/tex3] ou [tex3]r=-1[/tex3] .
Mas, olhando (6), temos que, se [tex3]r=-1[/tex3] , [tex3]a[/tex3] seria menos o quadrado de um número real, ou seja, [tex3]a[/tex3] seria menor do que zero, contradizendo o enunciado. Portanto: [tex3]r=\frac{1}{s}+1[/tex3] (9)
(9) em (2): [tex3]b=\frac{1}{s+1}[/tex3] (10)
(10) em (4): [tex3]\frac{a}{s+1}=s\rightarrow a=s^2+s[/tex3] (11)
(9) em (1): [tex3]\frac{1}{\frac{1}{s}+1}+\frac{1}{s}=a\rightarrow a=\frac{s^2+s+1}{s^2+s}[/tex3] (12)
Por fim, (11) em (12): [tex3]a=\frac{a+1}{a}\rightarrow a^2-a-1=0[/tex3] .
Da equação acima, obtemos [tex3]a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3] . Mas, como a>0: [tex3]a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]
Uma resposta dourada
[tex3]\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=a[/tex3] (1)
[tex3]\frac{1}{rs}=b[/tex3] (2)
[tex3]a+b=r[/tex3] (3)
[tex3]ab=s[/tex3] (4)
De (4), temos [tex3]b=\frac{s}{a}[/tex3] (5)
Plugando (5) em (2): [tex3]\frac{1}{rs}=\frac{s}{a}\rightarrow a=rs^2[/tex3] (6)
Plugando (6) e (2) em (3): [tex3]rs^2+\frac{1}{rs}=r\rightarrow r^2s^3+1=r^2s[/tex3] (7)
Plugando (6) em (1): [tex3]\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=rs^2\rightarrow r^2s^3=r+s[/tex3] (8)
Plugando (8) em (7): [tex3]r+s+1=r^2s\rightarrow sr^2-r-(s+1)=0[/tex3]
Resolvendo para [tex3]r[/tex3] , obtemos [tex3]r=\frac{1\pm \sqrt{(2s+1)^2}}{2s}=\frac{1\pm |2s+1|}{2s}[/tex3] .
As possibilidades para [tex3]|2s+1|[/tex3] são [tex3]2s+1[/tex3] ou [tex3]-(2s+1)[/tex3] . De todos os modos:
[tex3]r=\frac{1}{s}+1[/tex3] ou [tex3]r=-1[/tex3] .
Mas, olhando (6), temos que, se [tex3]r=-1[/tex3] , [tex3]a[/tex3] seria menos o quadrado de um número real, ou seja, [tex3]a[/tex3] seria menor do que zero, contradizendo o enunciado. Portanto: [tex3]r=\frac{1}{s}+1[/tex3] (9)
(9) em (2): [tex3]b=\frac{1}{s+1}[/tex3] (10)
(10) em (4): [tex3]\frac{a}{s+1}=s\rightarrow a=s^2+s[/tex3] (11)
(9) em (1): [tex3]\frac{1}{\frac{1}{s}+1}+\frac{1}{s}=a\rightarrow a=\frac{s^2+s+1}{s^2+s}[/tex3] (12)
Por fim, (11) em (12): [tex3]a=\frac{a+1}{a}\rightarrow a^2-a-1=0[/tex3] .
Da equação acima, obtemos [tex3]a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3] . Mas, como a>0: [tex3]a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]
Uma resposta dourada
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