- imagem.GIF (3.35 KiB) Exibido 1255 vezes
b) [tex3]\sqrt{69,9}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{65,9}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{61,9}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{60,5}[/tex3]
Resposta
a)
Olimpíadas ⇒ Geometria - Circunferência Tópico resolvido
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rean
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Mai 2012
20
07:43
Geometria - Circunferência
Na circunferência de centro [tex3]0[/tex3]
as cordas [tex3]AB \perp CD[/tex3]
no ponto [tex3]L[/tex3]
. A circunferência inscrita no triangulo [tex3]ABC[/tex3]
tem raio [tex3]3[/tex3]
, sendo o segmento [tex3]AL=4[/tex3]
e [tex3]\widehat{AC} =2\widehat{AD}[/tex3]
. O valor de [tex3]R[/tex3]
é?
a) [tex3]\sqrt{60,9}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{69,9}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{65,9}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{61,9}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{60,5}[/tex3]
a)
a) [tex3]\sqrt{60,9}[/tex3]
b) [tex3]\sqrt{69,9}[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{65,9}[/tex3]
d) [tex3]\sqrt{61,9}[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{60,5}[/tex3]
a)
Editado pela última vez por MateusQqMD em 12 Fev 2022, 11:09, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
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Fev 2022
12
09:23
Re: Geometria - Circunferência
Lei dos Senos
Expandido a figura com os dados do enunciado, podemos dizer que, se [tex3]\widehat{AC}=2\widehat{AD}[/tex3] , e esses são arcos de [tex3]\angle{ABC}[/tex3] e [tex3]\angle{ACD}[/tex3] , então podemos dizer que [tex3]\angle{ABC}=2\cdot\angle{ACD}[/tex3] . No mais, vamos adicionar algumas variáveis dos lados na figura:
A Relação dos Ângulos
Podemos criar uma relação entre os ângulos, dado que:
[tex3]\tg(2\theta)=\frac{2\tg(\theta)}{1-\tg^2(\theta)}[/tex3]
E podemos substituir, [tex3]\tg(2\theta)=\frac{z}{3+x}[/tex3] e [tex3]\tg(\theta)=\frac{3}{x}[/tex3]
Agora, note a semelhança dos triângulos [tex3]\Delta{ALC}[/tex3] e [tex3]\Delta {O'BP}[/tex3] :
[tex3]\frac{4}{z}=\frac{3}{x}\,\,\,\therefore\,\,\,4x=3z[/tex3]
Podemos juntas as duas informações e termos, logo [tex3]\tg(2\theta)=\frac{4x}{3(3+x)}[/tex3] e [tex3]\tg(\theta)=\frac{3}{x}[/tex3] , e resolvendo e a equação da tangente:
[tex3]\tg(2\theta)=\frac{2\tg(\theta)}{1-\tg^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]\frac{4x}{3(3+x)}=\frac{2\frac{3}{x}}{1-\(\frac{3}{x}\)^2}[/tex3]
[tex3]\frac{4x}{3(3+x)}=\frac{\frac{2\cdot3}{x}}{\frac{x^2-9}{x^2}}[/tex3]
[tex3]\frac{4{\color{Green}\cancel{\color{Black}x}}}{3(3+x)}=\frac{2\cdot3}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}}\cdot\frac{{\color{Green}\cancel{\color{Black}x}}^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}{x^2-9}[/tex3]
[tex3]4(x^2-9)=2\cdot9(3+x)[/tex3]
[tex3]2(x^2-9)=9(3+x)[/tex3]
[tex3]2(x-3){\color{Red}\cancel{\color{Black}(x+3)}}=9{\color{Red}\cancel{\color{Black}(x+3)}}[/tex3]
[tex3]2x-6=9[/tex3]
[tex3]2x=15[/tex3]
Ocorre que, para esse exercício em específico, saber [tex3]z[/tex3] é muito mais direto que saber [tex3]x[/tex3] , então eu vou realizar uma conversão:
[tex3]2(2x)=2(15)[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}4x}=30[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}3z}=30[/tex3]
[tex3]\boxed{z=10}[/tex3]
O Lado [tex3]\overline{AC}[/tex3]
Podemos encontrá-lo por Pitágoras, de modo que
[tex3]\overline{AC}^2=10^2+4^2[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=\sqrt{116}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=\sqrt{4\cdot29}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=2\sqrt{29}[/tex3]
Lei dos Senos
Por essa lei, achamos o Raio do circunscrito, seguimos:
[tex3]2R=\frac{\overline{AC}}{\sen(2\theta)}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}{\color{PineGreen}\sen(\theta)}{\color{Purple}\cos(\theta)}}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{\sqrt{29}}{{\color{PineGreen}\frac{4}{2\sqrt{29}}}{\color{Purple}\frac{10}{2\sqrt{29}}}}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{\sqrt{29}}{1}\cdot\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\cdot10}[/tex3]
[tex3]R=\frac{\sqrt{29^3}}{20}[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{\frac{29^3}{20^2}}[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{\frac{24\,389}{400}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{R\approx \sqrt{60.97}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]
Expandido a figura com os dados do enunciado, podemos dizer que, se [tex3]\widehat{AC}=2\widehat{AD}[/tex3] , e esses são arcos de [tex3]\angle{ABC}[/tex3] e [tex3]\angle{ACD}[/tex3] , então podemos dizer que [tex3]\angle{ABC}=2\cdot\angle{ACD}[/tex3] . No mais, vamos adicionar algumas variáveis dos lados na figura:
- Circunferência.png (34.85 KiB) Exibido 892 vezes
A Relação dos Ângulos
Podemos criar uma relação entre os ângulos, dado que:
[tex3]\tg(2\theta)=\frac{2\tg(\theta)}{1-\tg^2(\theta)}[/tex3]
E podemos substituir, [tex3]\tg(2\theta)=\frac{z}{3+x}[/tex3] e [tex3]\tg(\theta)=\frac{3}{x}[/tex3]
Agora, note a semelhança dos triângulos [tex3]\Delta{ALC}[/tex3] e [tex3]\Delta {O'BP}[/tex3] :
[tex3]\frac{4}{z}=\frac{3}{x}\,\,\,\therefore\,\,\,4x=3z[/tex3]
Podemos juntas as duas informações e termos, logo [tex3]\tg(2\theta)=\frac{4x}{3(3+x)}[/tex3] e [tex3]\tg(\theta)=\frac{3}{x}[/tex3] , e resolvendo e a equação da tangente:
[tex3]\tg(2\theta)=\frac{2\tg(\theta)}{1-\tg^2(\theta)}[/tex3]
[tex3]\frac{4x}{3(3+x)}=\frac{2\frac{3}{x}}{1-\(\frac{3}{x}\)^2}[/tex3]
[tex3]\frac{4x}{3(3+x)}=\frac{\frac{2\cdot3}{x}}{\frac{x^2-9}{x^2}}[/tex3]
[tex3]\frac{4{\color{Green}\cancel{\color{Black}x}}}{3(3+x)}=\frac{2\cdot3}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}x}}}\cdot\frac{{\color{Green}\cancel{\color{Black}x}}^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}{x^2-9}[/tex3]
[tex3]4(x^2-9)=2\cdot9(3+x)[/tex3]
[tex3]2(x^2-9)=9(3+x)[/tex3]
[tex3]2(x-3){\color{Red}\cancel{\color{Black}(x+3)}}=9{\color{Red}\cancel{\color{Black}(x+3)}}[/tex3]
[tex3]2x-6=9[/tex3]
[tex3]2x=15[/tex3]
Ocorre que, para esse exercício em específico, saber [tex3]z[/tex3] é muito mais direto que saber [tex3]x[/tex3] , então eu vou realizar uma conversão:
[tex3]2(2x)=2(15)[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}4x}=30[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}3z}=30[/tex3]
[tex3]\boxed{z=10}[/tex3]
O Lado [tex3]\overline{AC}[/tex3]
Podemos encontrá-lo por Pitágoras, de modo que
[tex3]\overline{AC}^2=10^2+4^2[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=\sqrt{116}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=\sqrt{4\cdot29}[/tex3]
[tex3]\overline{AC}=2\sqrt{29}[/tex3]
Lei dos Senos
Por essa lei, achamos o Raio do circunscrito, seguimos:
[tex3]2R=\frac{\overline{AC}}{\sen(2\theta)}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}{\color{PineGreen}\sen(\theta)}{\color{Purple}\cos(\theta)}}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{\sqrt{29}}{{\color{PineGreen}\frac{4}{2\sqrt{29}}}{\color{Purple}\frac{10}{2\sqrt{29}}}}[/tex3]
[tex3]2R=\frac{\sqrt{29}}{1}\cdot\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\sqrt{29}}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}}\cdot10}[/tex3]
[tex3]R=\frac{\sqrt{29^3}}{20}[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{\frac{29^3}{20^2}}[/tex3]
[tex3]R=\sqrt{\frac{24\,389}{400}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{R\approx \sqrt{60.97}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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