OlimpíadasTeoria dos Números

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Felip1211
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Teoria dos Números

Mensagem não lida por Felip1211 »

Livro "Um passeio pelos primos e outros números familiares" 1.4

Mostre que são primos entre si
215-1 e 210+1

Tentei usar o algoritmo de Euclides mas não encontro uma maneira de simplificar

Última edição: MateusQqMD (Qua 08 Dez, 2021 16:11). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título.



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Gaussiano
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Jan 2022 20 15:45

Re: Teoria dos Números

Mensagem não lida por Gaussiano »

A ideia é usar o algoritmo de Euclides mesmo e lembrar que,
se [tex3]a,b\in\mathbb{Z},[/tex3] então [tex3]\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(-a,b)=\text{mdc}(a,-b)=\text{mdc}(-a,-b).[/tex3]
Agora, veja que:
[tex3]2^{15}-1=(2^{10}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}+1),[/tex3]
[tex3]2^{10}+1=(2^{5}+1)\cdot2^{5}-(2^{5}-1),[/tex3]
[tex3]2^{5}+1=(2^{5}-1)\cdot1+2,[/tex3]
[tex3]2^{5}-1=2\cdot2^{4}-1,[/tex3]
[tex3]2=1\cdot2+0.[/tex3]
Portanto, [tex3]\text{mdc}(2^{15}-1,2^{10}+1)=1.[/tex3]




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