Mensagem não lidapor Gaussiano » Qui 20 Jan, 2022 21:10
Mensagem não lida
por Gaussiano »
Sejam [tex3]A(x_1,0), B(x_v,y_v)\text{ e }C(x_2,0)[/tex3]
os vértices do triângulo cuja área [tex3]S[/tex3]
queremos determinar,
em que [tex3]x_1< x_2[/tex3]
são as raízes de [tex3]f(x)=0[/tex3]
e [tex3](x_v,y_v)[/tex3]
são as coordenadas do vértice de [tex3]f(x).[/tex3]
De [tex3]f(x)=0[/tex3]
, decorre que:
[tex3]-x^2+4px-p+1=0\Rightarrow x_1=2p-\sqrt{4p^2-p+1}\text{ e }x_2=2p+\sqrt{4p^2-p+1}.[/tex3]
Para o vértice, vale que:
[tex3]x_v=2p\text{ e }y_v=4p^2-p+1.[/tex3]
Assim, a área do [tex3]\Delta ABC[/tex3]
é dada por:
[tex3]S=\dfrac{1}{2}\Bigg |\det\begin{pmatrix}
x_1 & 0 & 1 \\
x_v & y_v & 1 \\
x_2 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\Bigg |=\dfrac{1}{2}|(x_1-x_2)\cdot y_v|\Rightarrow S=(4p^2-p+1)^{3/2}.[/tex3]
Note que, para [tex3]S[/tex3]
ser inteiro com [tex3]p[/tex3]
racional, [tex3]S[/tex3]
deve ser um cubo perfeito ([tex3]S=n^3[/tex3]
, para
algum [tex3]n\in\mathbb{N}[/tex3]
), do contrário [tex3]4p^2-p+1\notin \mathbb{Q},[/tex3]
absurdo.
Com isso,
[tex3]n^3=(4p^2-p+1)^{3/2}\Rightarrow n^2=4p^2-p+1\Rightarrow 4p^2-p-(n^2-1)=0\Rightarrow [/tex3]
[tex3]p=\dfrac{1\pm \sqrt{16n^2-15}}{8}(*)\Rightarrow 16n^2-15=m^2,[/tex3]
para algum [tex3]m\in\mathbb{Z}[/tex3]
, senão [tex3]p\notin\mathbb{Q},[/tex3]
absurdo.
Logo,
[tex3]16n^2-m^2=15\Rightarrow (4n-m)\cdot(4n+m)=3\cdot5\Rightarrow[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
4n-m=1 \\
4n+m=15
\end{cases}(I)[/tex3]
,[tex3]\begin{cases}
4n-m=3 \\
4n+m=5
\end{cases}(II)[/tex3]
.
Por fim, as soluções dos sistemas [tex3](I)[/tex3]
e [tex3](II)[/tex3]
são, respectivamente, [tex3](n,m)=\{(2,7),(1,1)\}[/tex3]
e, substituindo em [tex3](*),[/tex3]
encontra-se que [tex3]p\in\bigg\{-\dfrac{3}{4},0,\dfrac{1}{4},1\bigg\}.[/tex3]