Olimpíadas(EUA) Equação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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AngelitaB
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Nov 2021 25 15:04

(EUA) Equação

Mensagem não lida por AngelitaB »

O produto de duas das quatro raízes da equação [tex3]x^{4}[/tex3] - 18 [tex3]x^{3}[/tex3] + k [tex3]x^{2}[/tex3] + 200 [tex3]x^{}[/tex3] - 1984=0 é -32.Então o valor de K é igual a:
a)79
b)86
c)93
d)100
e)107
Resposta

b




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jpedro2001
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Nov 2021 27 20:57

Re: (EUA) Equação

Mensagem não lida por jpedro2001 »

Considerando, sem perda de generalidade, as raízes como sendo [tex3]a,b,c,d.[/tex3] com [tex3]ab=-32[/tex3]
Utilizando as Relações de Girard: [tex3]-1984=abcd\Rightarrow cd=62(1)[/tex3] [tex3]18 = (a+b)+(c+d)(2)[/tex3]
[tex3]-200=abc+acd+bcd+abd=ab(c+d)+cd(a+b)=-32(c+d)+62(a+b)(3)[/tex3]
de (2) e (3): [tex3]a+b= 14,c+d=4[/tex3]
como, também por Girard:[tex3]k=ab+cd+ac+ad+bc+bd=30+(c+d)(a+b)=30+56=86.[/tex3]
Espero ter sido claro.




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