Olimpíadas(Bulgária) Equação Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
AngelitaB
Guru
Mensagens: 410
Registrado em: Sex 26 Jun, 2020 18:33
Última visita: 20-03-24
Out 2021 24 12:17

(Bulgária) Equação

Mensagem não lida por AngelitaB »

Seja p(x) um polinômio do 2°grau tal que p(0)=cos³10°, p(1)=cos10°sen²10° e p(2)=0, então o valor de 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .p(3) é igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resposta

c




Avatar do usuário
Tassandro
5 - Mestre
Mensagens: 1905
Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
Última visita: 03-10-23
Localização: Teresina, PI.
Out 2021 24 12:39

Re: (Bulgária) Equação

Mensagem não lida por Tassandro »

AngelitaB,

Por favor, não se esqueça de marcar as soluções de suas questões.

Para essa questão, vou usar a ideia de PA de 2a ordem.

Todo polinônio de k-ésimo grau pode ser entendido como o termo geral de uma progressão aritmética de k-ésima ordem.

Assim, um polinônio do 2° grau é uma PA de 2a ordem (quando aplicado aos números naturais).

Assim, temos uma progressão aritmética de segunda ordem para essa questão, cujo termos [tex3]a_0=\cos^310\degree, a_1=\cos10\degree\sen^210\degree=\cos10\degree-\cos^310\degree, a_2=0[/tex3]

Como sabemos, em uma PA de ordem 2, a diferença da diferença entre termos consecutivos é uma constante.
Ou seja,
[tex3](a_3-a_2)-(a_2-a_1)=(a_2-a_1)-(a_1-a_0)\implies\\
a_3=3a_2-3a_1+a_0=\\
3\cos^310\degree-3\cos10\degree+\cos^310\degree=\\
4\cos^310\degree-3\cos10\degree=\cos(3\cdot10\degree)=\cos30\degree[/tex3]

Logo, [tex3]2\sqrt3P(3)=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3[/tex3]



Dias de luta, dias de glória.

Avatar do usuário
Tassandro
5 - Mestre
Mensagens: 1905
Registrado em: Sáb 15 Fev, 2020 17:01
Última visita: 03-10-23
Localização: Teresina, PI.
Out 2021 24 12:47

Re: (Bulgária) Equação

Mensagem não lida por Tassandro »

Uma solução alternativa mas mais mecânica seria aplicar o teorema interpolador de Lagrange, o que nos dá:

[tex3]P(x)=\cos^310\degree\frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)}+\cos10\degree\cdot\sen^210\degree\frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)}+0\frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)}[/tex3]

Basta fazer [tex3]x=3[/tex3] agora

Última edição: Tassandro (Dom 24 Out, 2021 12:47). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Bulgária) Equação
    por AngelitaB » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    715 Exibições
    Última msg por AnthonyC
  • Nova mensagem (Bulgária) Trigonometria
    por Deleted User 23699 » » em Olimpíadas
    3 Respostas
    983 Exibições
    Última msg por Ittalo25
  • Nova mensagem (Bulgária) Funções
    por SkyWalker17 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    459 Exibições
    Última msg por rcompany
  • Nova mensagem (Bulgária) Estudo de funções
    por SkyWalker17 » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    414 Exibições
    Última msg por rcompany
  • Nova mensagem (Bulgária) Função quadrática
    por SkyWalker17 » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    756 Exibições
    Última msg por Gaussiano

Voltar para “Olimpíadas”