Olimpíadas(Vietnã) Trigonometria

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Zhadnyy
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(Vietnã) Trigonometria

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Resolva o sistema nos reais.

[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]
Resposta

[tex3](x,y)=(sen\alpha ,cos\alpha )\\
\alpha \in \left[\frac{7\pi }{6};\frac{31\pi }{6};\frac{55\pi }{6};\frac{11\pi }{6};\frac{35\pi }{6};\frac{59\pi }{6}\right][/tex3]
A substituição é bem óbvia, mas não consegui desenvolver até chegar na solução.



俺 に 勝てる の 和 俺 だけ だ - Aomine

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IvanYamasaki
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Set 2021 15 03:12

Re: (Vietnã) Trigonometria

Mensagem não lida por IvanYamasaki »

temos [tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

como você bem pontuou, é bem clara que a substituição [tex3](x,y)=(sen\alpha ,cos\alpha ), \alpha \in [0,2\pi][/tex3] nos será bastante útil, então vamos lá:

[tex3]\sqrt{2}(sen\alpha-cos\alpha)(1+4sen\alpha. cos\alpha)=\sqrt{3}\\
(sen\alpha-cos\alpha)(1+4sen\alpha .cos\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/tex3]


comecemos a mágica separando o segundo fator da seguinte forma:
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=(sen\alpha-cos\alpha)( 4(1+sen\alpha.cos\alpha)-3)\\
\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen\alpha-cos\alpha)(1+sen\alpha.cos\alpha) -3(sen\alpha-cos\alpha)\\
[/tex3]

note que podemos reescrever o [tex3]1[/tex3] da seguinte maneira: [tex3]1 = sen^2\alpha+cos^2\alpha[/tex3] :
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen\alpha-cos\alpha)(sen²\alpha+sen\alpha.cos\alpha+cos^2\alpha) -3(sen\alpha-cos\alpha)
[/tex3]

vaja lá que top! apareceu uma fatoração bastante conhecida...
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=4(sen^3\alpha-cos^3\alpha)-3(sen\alpha-cos\alpha)\\
\sqrt{\frac{3}{2}}=4sen^3\alpha - 4cos^3\alpha-3sen\alpha+3cos\alpha
[/tex3]

seus olhos têm que brilhar com esse resultado lindo!
basta lembrar que [tex3]\begin{cases}
sen3\alpha = 3sen\alpha - 4sen^3\alpha \\
cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha
\end{cases}[/tex3] :shock::shock::shock:

só substituir na maior felicidade:
[tex3]\sqrt{\frac{3}{2}}=-(sen3\alpha+cos3\alpha)
[/tex3]

agora virou brincadeira de criança :lol:
[tex3]-\sqrt{3}=\sqrt{2}(sen3\alpha+cos3\alpha)\\
\frac{\sqrt{2}}{2}sen3\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}cos3\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
cos\left(3\alpha -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\begin{cases}
3\alpha -\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6},\frac{17\pi}{6}, \frac{29\pi}{6} \\
3\alpha -\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6},\frac{19\pi}{6} \end{cases}\\
[/tex3]
portanto [tex3]\alpha =\frac{13\pi}{36},\frac{17\pi}{36},\frac{37\pi}{36},\frac{41\pi}{36},\frac{61\pi}{36} [/tex3]

bom, meu resultado não bateu com o seu gabarito, já verifiquei algumas vezes e não vejo erros da minha parte, caso encontre, ficarei feliz em corrigir.

:mrgreen:




snooplammer
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Set 2021 15 05:04

Re: (Vietnã) Trigonometria

Mensagem não lida por snooplammer »

Seja [tex3]z = x +yi[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
\sqrt{2}(x-y)(1+4xy)=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

que é igual a

[tex3]\begin{cases}
z\overline z=1 \\
\sqrt{2}\left(\dfrac{z^2 +1}{2z}-\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right)\left(1+4\dfrac{z^2 +1}{2z}\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right)=\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

Trabalhando [tex3]\sqrt{2}\left(\dfrac{z^2 +1}{2z}-\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right)\left(1+4\dfrac{z^2 +1}{2z}\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right)=\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\left(\dfrac{z^2 +1}{2z}-\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right)\left(1+4\dfrac{z^2 +1}{2z}\dfrac{z^2 - 1}{2iz}\right) = \left(\dfrac{z^2 +1}{2z}+i\dfrac{z^2 - 1}{2z}\right)\left(1-i\dfrac{(z^2 +1)(z^2 - 1)}{z^2}\right) [/tex3]

[tex3]\left(\dfrac{z^2 +1}{2z}+i\dfrac{z^2 - 1}{2z}\right)\left(1-i\dfrac{(z^2 +1)(z^2 - 1)}{z^2}\right) = \left(\frac{z^2 + 1 + i(z^2-1)}{2z}\right)\left(\frac{z^2- i(z^4-1)}{z^2}\right)[/tex3]

Fazendo as continhas chatas, vem que [tex3]\left(\frac{z^2 + 1 + i(z^2-1)}{2z}\right)\left(\frac{z^2- i(z^4-1)}{z^2}\right) = \frac{(1- i)z^6 + ( 1+i)}{2z^3} [/tex3] que ao expandir, obtemos facilmente que [tex3]\frac{(1- i)z^6 + ( 1+i)}{2z^3} = \cos 3x + \sen 3x[/tex3] , pois [tex3]|z| = 1[/tex3] .

[tex3]\sen 3x + \cos 3x = \frac{\sqrt3}{\sqrt 2}[/tex3] , daí tu pode usar a mesma coisa que o colega acima usou, ou pode usar isso viewtopic.php?f=3&t=92315

Note que a diferença do que eu cheguei pro que o colega Ivan chegou é o sinal da equação, pois eu considerei [tex3](x, y) = (\cos \varphi, \sen\varphi)[/tex3] , que é o natural por ter definido [tex3]z = x + yi[/tex3]

Números complexos ainda vai dominar o mundo, hahaha.




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