[tex3]x=\frac{10}{\sqrt{3}}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Círculos tangentes Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2021
14
12:20
Círculos tangentes
Os dois círculos de raio [tex3]1[/tex3]
[tex3]x=\frac{10}{\sqrt{3}}[/tex3]
são tangente aos lados do triângulo equilátero e ao arco de circunferência destacado em vermelho. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero.
Resposta
[tex3]x=\frac{10}{\sqrt{3}}[/tex3]
Última edição: Babi123 (Seg 10 Mai, 2021 22:30). Total de 1 vez.
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Jun 2021
22
21:41
Re: Círculos tangentes
Seja [tex3]\ell[/tex3]
Seja [tex3]A[/tex3] o vértice do triângulo equilátero que também é ponto de tangência. Seja [tex3]AB[/tex3] o lado verde do triângulo.
Temos em [tex3]AB[/tex3] : [tex3]\ell = \sqrt3 + 2\sqrt{R}[/tex3]
Seja [tex3]C[/tex3] o ponto de contato do círculo roxo com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]D[/tex3] o ponto de contato desse círculo com o círculo rosa.
Seja [tex3]E[/tex3] o encontro de [tex3]CD[/tex3] com a reta perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]A[/tex3] .
Pitágoras no [tex3]\triangle AEC[/tex3] :
[tex3](2R)^2 + (2\sqrt R)^2 = CE^2[/tex3]
agora é basicamente encontrar uma nova equação para o [tex3]CD[/tex3]
o lado do triângulo equilátero e [tex3]R[/tex3]
o raio do círculo rosa.Seja [tex3]A[/tex3] o vértice do triângulo equilátero que também é ponto de tangência. Seja [tex3]AB[/tex3] o lado verde do triângulo.
Temos em [tex3]AB[/tex3] : [tex3]\ell = \sqrt3 + 2\sqrt{R}[/tex3]
Seja [tex3]C[/tex3] o ponto de contato do círculo roxo com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]D[/tex3] o ponto de contato desse círculo com o círculo rosa.
Seja [tex3]E[/tex3] o encontro de [tex3]CD[/tex3] com a reta perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]A[/tex3] .
Pitágoras no [tex3]\triangle AEC[/tex3] :
[tex3](2R)^2 + (2\sqrt R)^2 = CE^2[/tex3]
agora é basicamente encontrar uma nova equação para o [tex3]CD[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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Jan 2022
05
21:53
Re: Círculos tangentes
realmente dá [tex3]\frac{10}{\sqrt3}[/tex3]
Defina [tex3]x = 2s = \sqrt 3 + 2\sqrt R[/tex3]
Faça os eixos de forma que [tex3]A = (0,0)[/tex3] e [tex3]B = (2s,0)[/tex3] . O centro do círculo rosa é [tex3]O = (0,R)[/tex3] o centro do círculo roxo que não tangencia o lado verde é [tex3]Q = (s, s\sqrt 3-2)[/tex3] (dá umas continhas achar essas coordenadas, mas, nada impossível).
A segunda equação é a distância entre [tex3]O[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , que vale [tex3]R-1[/tex3] :
[tex3]s^2 + (R- (s\sqrt3-2))^2 = (R-1)^2[/tex3]
Dá um trabalho, mas resolvendo essas duas equações, obtemos realmente [tex3]x = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3]
Pedi ajuda aos gringos pra ver se alguém dá uma luz sobre a geometria desse problema, qualquer coisa eu posto aqui.
. A solução que eu vi é por analítica.Defina [tex3]x = 2s = \sqrt 3 + 2\sqrt R[/tex3]
Faça os eixos de forma que [tex3]A = (0,0)[/tex3] e [tex3]B = (2s,0)[/tex3] . O centro do círculo rosa é [tex3]O = (0,R)[/tex3] o centro do círculo roxo que não tangencia o lado verde é [tex3]Q = (s, s\sqrt 3-2)[/tex3] (dá umas continhas achar essas coordenadas, mas, nada impossível).
A segunda equação é a distância entre [tex3]O[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , que vale [tex3]R-1[/tex3] :
[tex3]s^2 + (R- (s\sqrt3-2))^2 = (R-1)^2[/tex3]
Dá um trabalho, mas resolvendo essas duas equações, obtemos realmente [tex3]x = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3]
Pedi ajuda aos gringos pra ver se alguém dá uma luz sobre a geometria desse problema, qualquer coisa eu posto aqui.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jan 2022
05
21:56
Re: Círculos tangentes
Tá ótimo Felipe.
Eu encontrei recentemente uma solução de um indiano para este problema. Vou procurar aqui
Eu encontrei recentemente uma solução de um indiano para este problema. Vou procurar aqui
Jan 2022
05
22:03
Re: Círculos tangentes
Solução de Kousik Sett (Índia):
Solução de Todor Nikolov (acho que é Russo)
Última edição: Babi123 (Qua 05 Jan, 2022 22:04). Total de 2 vezes.
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Jan 2022
05
22:10
Re: Círculos tangentes
Babi123, se der pra provar que existe aquela linha tangente aos dois círculos roxos e paralela ao lado AB, o problema acaba mesmo.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Jan 2022
05
22:37
Re: Círculos tangentes
Verdade Felipe, aquela solução ali parte de que são tangentes, mas ele não provou nada.FelipeMartin escreveu: ↑Qua 05 Jan, 2022 22:10se der pra provar que existe aquela linha tangente aos dois círculos roxos e paralela ao lado AB, o problema acaba mesmo.
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Jan 2022
05
22:42
Re: Círculos tangentes
Babi123, essa configuração é relativamente comum. Se pá dá pra provar por alguma simetria ou teorema. Se eu descobrir qualquer coisa, eu posto aqui.
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Jan 2022
07
19:22
Re: Círculos tangentes
acho que está pra vir mais coisa; mas, já me deram o seguinte:
Siga a figura acima, com [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] . Uma coisa que eu não reparei é que os círculos roxos são simétricos em relação a [tex3]AM[/tex3] .
Veja: essa reflexão (em relação a [tex3]AM[/tex3] ) leva o ponto [tex3]B[/tex3] no ponto [tex3]C[/tex3] e não é difícil ver que os pontos de contato dos círculos roxos com [tex3]BC[/tex3] são simétrico em relação a [tex3]M[/tex3] (pois distam [tex3]\sqrt3[/tex3] dos vértices [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] ) então são levados um no outro. Como a reflexão preserva círculos, seus raios e distâncias, não é difícil enxergar que [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são reflexos um do outro em relação a [tex3]AM[/tex3] .
Seja [tex3]c^*[/tex3] o reflexo do círculo [tex3]c[/tex3] em relação a [tex3]AM[/tex3] . Como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] , então [tex3]c^*[/tex3] é tangente a [tex3]AC[/tex3] .
Considere agora o círculo [tex3]c_A = \odot (A,AT_1)[/tex3] , com [tex3]T_1 = c_1 \cap AC[/tex3] . Claramente [tex3]AT_1 = AT_2[/tex3] . Pensemos na inversão em relação a [tex3]c_A[/tex3] : [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são ortogonais a [tex3]c_A[/tex3] , logo, não se alteram. Os círculos [tex3]c[/tex3] e [tex3]c^*[/tex3] são invertidos em retas tangentes a [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] . Mais que isso: como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] (que é preservada na inversão), então a imagem de [tex3]c[/tex3] é paralela a [tex3]AB[/tex3] . Logo existe uma reta tangente a ambos os círculos paralela a [tex3]AB[/tex3] , claro que só pode ser aquela do desenho e então vale [tex3]H = 5 \implies \ell = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3] . Enquanto eu escrevia essa solução, já apareceu a que eu queria. Já volto.
Siga a figura acima, com [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] . Uma coisa que eu não reparei é que os círculos roxos são simétricos em relação a [tex3]AM[/tex3] .
Veja: essa reflexão (em relação a [tex3]AM[/tex3] ) leva o ponto [tex3]B[/tex3] no ponto [tex3]C[/tex3] e não é difícil ver que os pontos de contato dos círculos roxos com [tex3]BC[/tex3] são simétrico em relação a [tex3]M[/tex3] (pois distam [tex3]\sqrt3[/tex3] dos vértices [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] ) então são levados um no outro. Como a reflexão preserva círculos, seus raios e distâncias, não é difícil enxergar que [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são reflexos um do outro em relação a [tex3]AM[/tex3] .
Seja [tex3]c^*[/tex3] o reflexo do círculo [tex3]c[/tex3] em relação a [tex3]AM[/tex3] . Como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] , então [tex3]c^*[/tex3] é tangente a [tex3]AC[/tex3] .
Considere agora o círculo [tex3]c_A = \odot (A,AT_1)[/tex3] , com [tex3]T_1 = c_1 \cap AC[/tex3] . Claramente [tex3]AT_1 = AT_2[/tex3] . Pensemos na inversão em relação a [tex3]c_A[/tex3] : [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são ortogonais a [tex3]c_A[/tex3] , logo, não se alteram. Os círculos [tex3]c[/tex3] e [tex3]c^*[/tex3] são invertidos em retas tangentes a [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] . Mais que isso: como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] (que é preservada na inversão), então a imagem de [tex3]c[/tex3] é paralela a [tex3]AB[/tex3] . Logo existe uma reta tangente a ambos os círculos paralela a [tex3]AB[/tex3] , claro que só pode ser aquela do desenho e então vale [tex3]H = 5 \implies \ell = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3] . Enquanto eu escrevia essa solução, já apareceu a que eu queria. Já volto.
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