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Mensagem não lidapor **Babi123** » 14 Mai 2021, 12:20 · Mensagem não lida por **Babi123** » 14 Mai 2021, 12:20

Os dois círculos de raio [tex3]1[/tex3] são tangente aos lados do triângulo equilátero e ao arco de circunferência destacado em vermelho. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero.

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Resposta

[tex3]x=\frac{10}{\sqrt{3}}[/tex3]

22 Jun 2021, 21:41

Seja [tex3]\ell[/tex3] o lado do triângulo equilátero e [tex3]R[/tex3] o raio do círculo rosa.

Seja [tex3]A[/tex3] o vértice do triângulo equilátero que também é ponto de tangência. Seja [tex3]AB[/tex3] o lado verde do triângulo.

Temos em [tex3]AB[/tex3] : [tex3]\ell = \sqrt3 + 2\sqrt{R}[/tex3]

Seja [tex3]C[/tex3] o ponto de contato do círculo roxo com [tex3]AB[/tex3] e [tex3]D[/tex3] o ponto de contato desse círculo com o círculo rosa.

Seja [tex3]E[/tex3] o encontro de [tex3]CD[/tex3] com a reta perpendicular a [tex3]AB[/tex3] por [tex3]A[/tex3] .

Pitágoras no [tex3]\triangle AEC[/tex3] :

[tex3](2R)^2 + (2\sqrt R)^2 = CE^2[/tex3]

agora é basicamente encontrar uma nova equação para o [tex3]CD[/tex3]

05 Jan 2022, 21:53

realmente dá [tex3]\frac{10}{\sqrt3}[/tex3] . A solução que eu vi é por analítica.

Defina [tex3]x = 2s = \sqrt 3 + 2\sqrt R[/tex3]

Faça os eixos de forma que [tex3]A = (0,0)[/tex3] e [tex3]B = (2s,0)[/tex3] . O centro do círculo rosa é [tex3]O = (0,R)[/tex3] o centro do círculo roxo que não tangencia o lado verde é [tex3]Q = (s, s\sqrt 3-2)[/tex3] (dá umas continhas achar essas coordenadas, mas, nada impossível).

A segunda equação é a distância entre [tex3]O[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] , que vale [tex3]R-1[/tex3] :

[tex3]s^2 + (R- (s\sqrt3-2))^2 = (R-1)^2[/tex3]

Dá um trabalho, mas resolvendo essas duas equações, obtemos realmente [tex3]x = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3]

Pedi ajuda aos gringos pra ver se alguém dá uma luz sobre a geometria desse problema, qualquer coisa eu posto aqui.

Mensagem não lidapor **Babi123** » 05 Jan 2022, 21:56 · Mensagem não lida por **Babi123** » 05 Jan 2022, 21:56

Tá ótimo Felipe.

Eu encontrei recentemente uma solução de um indiano para este problema. Vou procurar aqui

Mensagem não lidapor **Babi123** » 05 Jan 2022, 22:03 · Mensagem não lida por **Babi123** » 05 Jan 2022, 22:03

Solução de Kousik Sett (Índia):

: FB_IMG_1641430692154.jpg (18.03 KiB) Exibido 1434 vezes

Solução de Todor Nikolov (acho que é Russo)

: FB_IMG_1641430763304.jpg (15.39 KiB) Exibido 1434 vezes

05 Jan 2022, 22:10

Babi123, se der pra provar que existe aquela linha tangente aos dois círculos roxos e paralela ao lado AB, o problema acaba mesmo.

Mensagem não lidapor **Babi123** » 05 Jan 2022, 22:37 · Mensagem não lida por **Babi123** » 05 Jan 2022, 22:37

FelipeMartin escreveu: ↑05 Jan 2022, 22:10 se der pra provar que existe aquela linha tangente aos dois círculos roxos e paralela ao lado AB, o problema acaba mesmo.

Verdade Felipe, aquela solução ali parte de que são tangentes, mas ele não provou nada.

05 Jan 2022, 22:42

Babi123, essa configuração é relativamente comum. Se pá dá pra provar por alguma simetria ou teorema. Se eu descobrir qualquer coisa, eu posto aqui.

Mensagem não lidapor **Babi123** » 06 Jan 2022, 01:54 · Mensagem não lida por **Babi123** » 06 Jan 2022, 01:54

FelipeMartin escreveu: ↑05 Jan 2022, 22:42 Se eu descobrir qualquer coisa

Ótimo. Fico no aguardo por novidades.

07 Jan 2022, 19:22

acho que está pra vir mais coisa; mas, já me deram o seguinte:

: 7OROM.jpg (19.97 KiB) Exibido 1401 vezes

Siga a figura acima, com [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] . Uma coisa que eu não reparei é que os círculos roxos são simétricos em relação a [tex3]AM[/tex3] .

Veja: essa reflexão (em relação a [tex3]AM[/tex3] ) leva o ponto [tex3]B[/tex3] no ponto [tex3]C[/tex3] e não é difícil ver que os pontos de contato dos círculos roxos com [tex3]BC[/tex3] são simétrico em relação a [tex3]M[/tex3] (pois distam [tex3]\sqrt3[/tex3] dos vértices [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] ) então são levados um no outro. Como a reflexão preserva círculos, seus raios e distâncias, não é difícil enxergar que [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são reflexos um do outro em relação a [tex3]AM[/tex3] .

Seja [tex3]c^*[/tex3] o reflexo do círculo [tex3]c[/tex3] em relação a [tex3]AM[/tex3] . Como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] , então [tex3]c^*[/tex3] é tangente a [tex3]AC[/tex3] .

Considere agora o círculo [tex3]c_A = \odot (A,AT_1)[/tex3] , com [tex3]T_1 = c_1 \cap AC[/tex3] . Claramente [tex3]AT_1 = AT_2[/tex3] . Pensemos na inversão em relação a [tex3]c_A[/tex3] : [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] são ortogonais a [tex3]c_A[/tex3] , logo, não se alteram. Os círculos [tex3]c[/tex3] e [tex3]c^*[/tex3] são invertidos em retas tangentes a [tex3]c_1[/tex3] e [tex3]c_2[/tex3] . Mais que isso: como [tex3]c[/tex3] é tangente a [tex3]AB[/tex3] (que é preservada na inversão), então a imagem de [tex3]c[/tex3] é paralela a [tex3]AB[/tex3] . Logo existe uma reta tangente a ambos os círculos paralela a [tex3]AB[/tex3] , claro que só pode ser aquela do desenho e então vale [tex3]H = 5 \implies \ell = \frac{10}{\sqrt3}[/tex3] . Enquanto eu escrevia essa solução, já apareceu a que eu queria. Já volto.

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