Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números
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Cássio 
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Jan 2014
04
13:37
Teoria dos Números
Prove que a equação 
não tem soluções inteiras.
Última edição: Cássio (Sáb 04 Jan, 2014 13:37). Total de 1 vez.
"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman
Charles Churchman
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Abr 2021
22
15:25
Re: Teoria dos Números
..............................up.....................................
[tex3]mdc(x, y)=d[/tex3] então [tex3]d|4[/tex3]
se d for par temos, em particular [tex3]2|x[/tex3] e [tex3]2|y[/tex3] portanto podemos escrever [tex3]y=2n[/tex3] e [tex3]x=2m[/tex3]
[tex3]4n^2=2^5m^5-4[/tex3]
[tex3]n^2=8m^5-1[/tex3]
olhando módulo 4
[tex3]n^2\equiv-1\equiv3(\mod4)[/tex3] mas 3 não é resíduo quadrático módulo 4.
então podemos supor mdc(x, y) = 1, como eles tem a mesma paridade ambos são ímpares.
depois disso não consegui fazer mais nada.
[tex3]mdc(x, y)=d[/tex3] então [tex3]d|4[/tex3]
se d for par temos, em particular [tex3]2|x[/tex3] e [tex3]2|y[/tex3] portanto podemos escrever [tex3]y=2n[/tex3] e [tex3]x=2m[/tex3]
[tex3]4n^2=2^5m^5-4[/tex3]
[tex3]n^2=8m^5-1[/tex3]
olhando módulo 4
[tex3]n^2\equiv-1\equiv3(\mod4)[/tex3] mas 3 não é resíduo quadrático módulo 4.
então podemos supor mdc(x, y) = 1, como eles tem a mesma paridade ambos são ímpares.
depois disso não consegui fazer mais nada.
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