Olimpíadas(EUA) Funções: Composta e Inversa Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2021 14 11:26

(EUA) Funções: Composta e Inversa

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Seja [tex3]f(z)=\frac{z+a}{z+b}[/tex3] e [tex3]g(z)=f(f(z))[/tex3] , sendo a e b números complexos. Suponha que |a| = 1 e que g(g(z)) = z para todo z para o qual g(g(z)) esteja definida. Qual é a diferença entre o maior e o menor valores possíveis de |b|?

a) 0
b) [tex3]\sqrt{2}-1[/tex3]
c) [tex3]\sqrt{3}-1[/tex3]
d) 1
e) 2
Resposta

C




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Ittalo25
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Re: (EUA) Funções: Composta e Inversa

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]g(z)=\frac{\frac{z+a}{z+b}+a}{\frac{z+a}{z+b}+b}[/tex3]
[tex3]g(z)=\frac{z+a+za+ba}{z+a+zb+b^2}[/tex3]
[tex3]g(g(z))=\frac{\frac{z+a+za+ba}{z+a+zb+b^2}+a+\frac{za+a^2+za^2+ba^2}{z+a+zb+b^2}+ba}{\frac{z+a+za+ba}{z+a+zb+b^2}+a+\frac{zb+ab+zab+b^2a}{z+a+zb+b^2}+b^2}[/tex3]
[tex3]g(g(z))=\frac{z+a+za+ba+za+a^2+zab+ab^2+za+a^2+za^2+ba^2+zab+a^2b+zab^2+ab^3}{z+a+za+ba+za+a^2+zab+ab^2+zb+ab+zab+b^2a+zb^2+ab^2+zb^3+b^4}[/tex3]
[tex3]g(g(z))=\frac{z \cdot (1+2a+2ab+a+a^2+ab^2)+a+ba+2a^2+ab^2+2ba^2+ab^3}{z\cdot (1+2a+2ab+b+b^2+b^3)+a+2ba+a^2+3ab^2+b^4} = z[/tex3]

Então:
[tex3]\begin{cases}
1+2a+2ab+a+a^2+ab^2=a+2ba+a^2+3ab^2+b^4 \\
a+ba+2a^2+ab^2+2ba^2+ab^3=0 \\
1+2a+2ab+b+b^2+b^3=0 \\
\end{cases}[/tex3]

Na segunda:
[tex3]a+ba+2a^2+ab^2+2ba^2+ab^3=0 [/tex3]
[tex3]a\cdot (1+b+2a+b^2+2ba+b^3)=0 [/tex3]
[tex3]a\cdot (1+2a+b^2+b\cdot (1+2a+b^2))=0 [/tex3]
[tex3]a\cdot (b+1)\cdot (1+2a+b^2)=0 [/tex3]
Como [tex3]|a|=1 [/tex3] , então [tex3]a \neq 0[/tex3]
Disso sai: [tex3]b=-1 [/tex3] ou [tex3]b^2+2a+1=0 [/tex3]

No segundo caso:
[tex3]|b^2+1| = |-2a| = 2 [/tex3]
Pela desigualdade triangular:
[tex3]|b^2|-1 \leq |b^2+1| \leq |b^2|+1 [/tex3]
[tex3]|b^2|-1 \leq 2 \leq |b^2|+1 [/tex3]
Sendo assim:
[tex3]1 \leq |b| \leq \sqrt{3}[/tex3]

O que contém o primeiro caso também, já que se [tex3]b = -1 \rightarrow |b| = 1 [/tex3]

Então a diferença pedida: [tex3]\boxed{\sqrt{3}-1} [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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