(POTI 2012) (i) Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii) Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três quadrados.
Olimpíadas ⇒ Quadrados Perfeitos Tópico resolvido
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Cássio 
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Jan 2014
04
13:13
Re: Quadrados Perfeitos
(i) Seja [tex3]2n+1 = k^2;\ \ k\in\mathbb{Z}.[/tex3]
E facil ver que [tex3]k[/tex3]
deve ser ímpar. Então existe inteiro [tex3]q[/tex3]
tal que [tex3]k=2q-1.[/tex3]
Daí,
[tex3]2n+1=(2q-1)^2=4q^2+4q+1 \iff n=2q^2+2q+1 \iff n+1=q^2+(q^2+2q+1)=q^2+(q+1)^2.[/tex3]
(ii) Seja [tex3]3n+1=k^2.[/tex3] Então [tex3]k[/tex3] não é múltiplo 3, ou seja, [tex3]k=3q+1[/tex3] ou [tex3]k=3q+2.[/tex3]
Se [tex3]k=3q+1,[/tex3] então
[tex3]3n+1=(3q+1)^2=9q^2+6q+1 \iff n=3q^2+2q \iff n+1=q^2+q^2+(q^2+2q+1)=q^2+q^2+(q+1)^2.[/tex3]
Se [tex3]k=3q+2:\\ \\
3n+1=(3q+2)^2=9q^2+12q+4 \iff n=3q^2+4q+1 \iff n+1=q^2+(q^2+2q+1)+(q^2+2q+1)=q^2+(q+1)^2+(q+1)^2.[/tex3]
[tex3]2n+1=(2q-1)^2=4q^2+4q+1 \iff n=2q^2+2q+1 \iff n+1=q^2+(q^2+2q+1)=q^2+(q+1)^2.[/tex3]
(ii) Seja [tex3]3n+1=k^2.[/tex3] Então [tex3]k[/tex3] não é múltiplo 3, ou seja, [tex3]k=3q+1[/tex3] ou [tex3]k=3q+2.[/tex3]
Se [tex3]k=3q+1,[/tex3] então
[tex3]3n+1=(3q+1)^2=9q^2+6q+1 \iff n=3q^2+2q \iff n+1=q^2+q^2+(q^2+2q+1)=q^2+q^2+(q+1)^2.[/tex3]
Se [tex3]k=3q+2:\\ \\
3n+1=(3q+2)^2=9q^2+12q+4 \iff n=3q^2+4q+1 \iff n+1=q^2+(q^2+2q+1)+(q^2+2q+1)=q^2+(q+1)^2+(q+1)^2.[/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Ter 19 Jan, 2021 17:04). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
"Se você se sente menos e menos satisfeito com suas respostas a perguntas que você mesmo elabora mais e mais perfeitamente, é sinal de que sua capacidade intelectual está aumentando."
Charles Churchman
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Deleted User 23699
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Jan 2021
19
16:52
Re: Quadrados Perfeitos
O Cássio fez:
[tex3]2n+1 = k^2[/tex3] , obviamente k é ímpar, então [tex3]k = 2q-1 [/tex3] , assim:
[tex3]2n+1 = (2q-1)^2 [/tex3]
[tex3]n = 2q^2-2q [/tex3]
[tex3]n+1 = (q-1)^2 + q^2 [/tex3]
Eu faria:
[tex3]2n+1 = k^2 [/tex3]
[tex3]n+1 = \frac{k^2+1}{2} [/tex3]
[tex3]n+1 = \frac{2k^2+2}{4} [/tex3]
[tex3]n+1 = \frac{k^2+2k+1}{4} +\frac{k^2-2k+1}{4}[/tex3]
[tex3]n+1 =\left(\frac{k+1}{2}\right)^2+\left(\frac{k-1}{2}\right)^2[/tex3]
Como k é ímpar, os 2 quadrados são números inteiros e consecutivos.
O Cássio fez:
[tex3]3n+1 = k^2 [/tex3] , então k não é múltiplo de 3. [tex3]k = 3q+1 [/tex3] ou [tex3]k = 3q+2 [/tex3] e então basta substituir mais uma vez.
[tex3]3n+1 = (3q+1)^2 [/tex3]
[tex3]n = 3q^2+2q [/tex3]
[tex3]n +1= 3q^2+2q+1 [/tex3]
[tex3]n +1=q^2+(q+1)^2 +q^2 [/tex3]
[tex3]3n+1 = (3q+2)^2 [/tex3]
[tex3]n+1 = q^2+(q+1)^2+(q+1)^2 [/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Ter 19 Jan, 2021 19:41). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Deleted User 23699
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Jan 2021
19
16:58
Re: Quadrados Perfeitos
Que olho rs
Obrigado
Última edição: Deleted User 23699 (Ter 19 Jan, 2021 16:58). Total de 1 vez.
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