OlimpíadasOBM 2010 - Problema 4 Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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goncalves3718
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OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Seja ABCD um quadrilátero convexo e M e N os pontos médios dos lados CD e AD, respectivamente. As retas perpendiculares a AB passando por M e a BC passando por N cortam-se no ponto P. Prove que P pertence à diagonal BD se, e somente se, as diagonais AC e BD são perpendiculares.




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Ittalo25
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Re: OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por Ittalo25 »

lqas.png
lqas.png (75.26 KiB) Exibido 197 vezes
estranho



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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goncalves3718
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Re: OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por goncalves3718 »

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NigrumCibum
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Re: OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Essa questão deve ser reescrita.
Prove que se AC é perpendicular a BD então P pertence a BD.
20210112_145750.jpg
20210112_145750.jpg (30.8 KiB) Exibido 148 vezes
Última edição: NigrumCibum (Ter 12 Jan, 2021 16:46). Total de 4 vezes.


Soleil de minuit.

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Re: OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por NigrumCibum »

A solução pode ser encontrada na revista eureka de 2011 n°34 e página 53
OBM-https://www.obm.org.br/revista-eureka/
Na verdade o enunciado está correto.


Soleil de minuit.

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Ittalo25
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Re: OBM 2010 - Problema 4

Mensagem não lida por Ittalo25 »

A ida nem sempre é verdade, conforme o geogebra mostrou e está provado na Eureka.
A volta é sempre verdade, mas como a resolução da Eureka está por geometria analítica, vou demonstrar por geometria plana:
ee.png
ee.png (99.04 KiB) Exibido 107 vezes
Volta: AC e BD são perpendiculares

- NM paralelo a AC já que é base média de ACD: [tex3]<NIP = <AGB = 90^o[/tex3]
- NIFB é cíclico já que [tex3]<NIB=<NFB [/tex3] , portanto [tex3]<INF = <IBF [/tex3]
- Mas AC é paralelo a MN, então [tex3]<MNH=<AHN [/tex3]
- Sendo assim, [tex3]<GPH = <GPF = <BPF [/tex3] , B,G e P são colineares.

Última edição: Ittalo25 (Ter 12 Jan, 2021 18:02). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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