OlimpíadasGeometria Plana Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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NigrumCibum
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Nov 2020 21 10:00

Geometria Plana

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3] um triângulo actuângulo. K e L são as intersecções da altura traçada desde B com o círculo de diâmetro AC, com K mais próximo de B do que L. Analogamente, X e Y são as intersecções da altura traçada desde C com o círculo de diâmetro AB, com X mais próximo de C do que Y. Prove que a intersecção de XL e KY encontra-se em BC.

O que eu quero saber é: Se eu provar que K, X, L e Y são cocíclicos isso pode ser demonstrado? Ou há algo mais que eu deveria adicionar à demonstração?
Resposta

Demonstração



Soleil de minuit.

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Ittalo25
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Nov 2020 22 02:25

Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por Ittalo25 »

br.png
br.png (122.13 KiB) Exibido 83 vezes
Resposta

Provando que KXYL é cíclico e usando a semelhança em BXA~BEX:
[tex3]\frac{BX}{BA} = \frac{BE}{BX} \rightarrow BX^2 = BE \cdot BA[/tex3]
E por potência de ponto [tex3]BE \cdot BA = BK \cdot BL [/tex3]
Sendo assim BX e BY são tangentes à circunferência circunscrita ao quadrilátero KXYL
De modo análogo CL e CK são tangentes.
Daí basta aplicar o Demonstração - Teorema de Pascal no hexágono degenerado XXLYYK e então B,G e C são colineares.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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NigrumCibum
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Ittalo25, muito obrigado mesmo!!!!!


Soleil de minuit.

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FelipeMartin
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Re: Geometria Plana

Mensagem não lida por FelipeMartin »

De fato, muito bom mesmo!



Θα ντυθώ στα λευκά να σ' αγγίξω ξανά φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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