Seja x um número real tal que [tex3]0 \leq x \leq \frac{2\pi}{9}[/tex3]
, prove que
[tex3]sen(x)^{sen(x)} < cos(x)[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (China) Desigualdade trigonométrica
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undefinied3 
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Mai 2017
16
21:35
(China) Desigualdade trigonométrica
Última edição: undefinied3 (Ter 16 Mai, 2017 21:35). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mar 2020
23
19:18
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
undefinied3 ,
Tem um problema semelhante a esse no livro 103 Trigonometry Problems From The USA IMO Team, do Titu Andreescu.
Lá ele trabalha com senx ^ senx < ou > cos x ^ cosx
Pag. 174.
Segue anexo
Talvez ajude. 
Tem um problema semelhante a esse no livro 103 Trigonometry Problems From The USA IMO Team, do Titu Andreescu.
Lá ele trabalha com senx ^ senx < ou > cos x ^ cosx
Pag. 174.
Segue anexo
- undef.png (73.66 KiB) Exibido 1394 vezes
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Tassandro 
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Mar 2020
24
09:53
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
undefinied3,
Eu tive essa ideia:
Se provarmos que
[tex3]ln(x) < \frac{1}{x} - (x^2-x^4)^{-1/2} \space\text{para}\space 0< x < sin(2pi/9)[/tex3] , é só correr para o abraço. Agora, resta-nos provar essa desigualdade. Acho que seja viável através de cálculo.
Eu tive essa ideia:
Se provarmos que
[tex3]ln(x) < \frac{1}{x} - (x^2-x^4)^{-1/2} \space\text{para}\space 0< x < sin(2pi/9)[/tex3] , é só correr para o abraço. Agora, resta-nos provar essa desigualdade. Acho que seja viável através de cálculo.
Dias de luta, dias de glória.
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Tassandro
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Mar 2020
24
11:26
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
undefinied3, eis uma possível solução:
Como já sabemos,
[tex3]-1\leq \sin x\leq 1[/tex3]
[tex3]-1\leq \cos x\leq 1[/tex3]
Agora, perceba que
[tex3]\sin^{\sin x}x\in [-1;0)\cup(0;1][/tex3]
Para [tex3]0\leq x\leq \frac{2π}{9}[/tex3] , temos que [tex3]\sin x<\cos x[/tex3]
Note que [tex3]\sin^{\sin x}x<\cos x[/tex3] , porque a base de nossa função problema está entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] , assim como o seu expoente, ou seja, é como se estivéssemos extraindo a raiz quadrada de um número menor do que 1, o que, logicamente é, menor do que 1.
De fato, para [tex3]x=0\implies \cos x=1\space \text{e} \space \lim_{x\to0^{+}}\sin^{\sin x}x=1[/tex3] (faça [tex3]\sin^{\sin x}x=e^{ln(\sin^{\sin x}x)}[/tex3] e resolva o limite).
Portanto, para [tex3]0\leq x\leq \frac{2π}{9},\sin^{\sin x}x<\cos x[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]
Como já sabemos,
[tex3]-1\leq \sin x\leq 1[/tex3]
[tex3]-1\leq \cos x\leq 1[/tex3]
Agora, perceba que
[tex3]\sin^{\sin x}x\in [-1;0)\cup(0;1][/tex3]
Para [tex3]0\leq x\leq \frac{2π}{9}[/tex3] , temos que [tex3]\sin x<\cos x[/tex3]
Note que [tex3]\sin^{\sin x}x<\cos x[/tex3] , porque a base de nossa função problema está entre [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] , assim como o seu expoente, ou seja, é como se estivéssemos extraindo a raiz quadrada de um número menor do que 1, o que, logicamente é, menor do que 1.
De fato, para [tex3]x=0\implies \cos x=1\space \text{e} \space \lim_{x\to0^{+}}\sin^{\sin x}x=1[/tex3] (faça [tex3]\sin^{\sin x}x=e^{ln(\sin^{\sin x}x)}[/tex3] e resolva o limite).
Portanto, para [tex3]0\leq x\leq \frac{2π}{9},\sin^{\sin x}x<\cos x[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare[/tex3]
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Mar 2020
24
11:28
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
Para uma visualização gráfica, veja:
De verde:[tex3]\sin x[/tex3]
De vermelhor:[tex3]\sin^{\sin x}x[/tex3]
De rosa:[tex3]\cos x[/tex3]
- 20200324_112036.jpg (25.05 KiB) Exibido 1358 vezes
De vermelhor:[tex3]\sin^{\sin x}x[/tex3]
De rosa:[tex3]\cos x[/tex3]
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undefinied3
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Mar 2020
24
11:59
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
Não estou conseguindo concordar com sua passagem [tex3]sen(x)<cos(x) \rightarrow sen(x)^{sen(x)} < cos(x)[/tex3]
pelo o argumento que você deu. Me parece que é justamente o contrário: o fato da base e o expoente serem menores do que um, o resultado acaba aumentando. Por exemplo:
[tex3]0.25<0.5 \rightarrow 0.25^{0.25} = 0.707 \nleq 0.5[/tex3]
[tex3]0.25<0.5 \rightarrow 0.25^{0.25} = 0.707 \nleq 0.5[/tex3]
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Tassandro
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Mar 2020
24
12:39
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
Perdão, obrigado pela correção, entendi o que você quis dizer. De fato, não posso garantir.undefinied3 escreveu: ↑Ter 24 Mar, 2020 11:59Não estou conseguindo concordar com sua passagem [tex3]sen(x)<cos(x) \rightarrow sen(x)^{sen(x)} < cos(x)[/tex3] pelo o argumento que você deu. Me parece que é justamente o contrário: o fato da base e o expoente serem menores do que um, o resultado acaba aumentando. Por exemplo:
[tex3]0.25<0.5 \rightarrow 0.25^{0.25} = 0.707 \nleq 0.5[/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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Mar 2020
24
12:47
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
A única garantia que eu possuo é que [tex3]\sin ^{\sin x}x[/tex3]
vai ser sempre menor do que 1, mas resta provar que especificamente nesse intervalo, vai ser sempre menor do que [tex3]\cos x[/tex3]
.
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Tassandro
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Mar 2020
31
06:54
Re: (China) Desigualdade trigonométrica
undefinied3,
Perceba que é suficiente provar que
[tex3]F(x)=\log(\cos(x))-\log(\sin(x)^{\sin(x)})
[/tex3] é não negativo no intervalo dado.
Assim, perceba que [tex3]F(2\pi/9)\approx 0.0175591>0
[/tex3]
Nós também podemos definir que [tex3]F(0)=0[/tex3]
Logo, resta provar que a concavidade de [tex3]F(x)[/tex3] é voltada para baixo, para provar que [tex3]F(x) [/tex3] é não negativa em todo esse intervalo.
Temos que [tex3]F''(x)=-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x) (1+\log (\sin (x)))
[/tex3]
Agora, vamos usar o fato que [tex3]\sin(x)\log(\sin(x))<0
[/tex3] no intervalo dado.
Daí, [tex3]F''(x)<-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x)\cdot 1
[/tex3]
Nós podemos multiplicar toda a expressão por [tex3]\sin x[/tex3] sem mudar o sinal, ficando com [tex3](-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x))\cdot\sin(x) = -\cos (2 x)-\tan (x) \sec (x)<0
[/tex3]
Assim, [tex3]F(x)>0
,0\leq x\leq\frac{2π}{9}[/tex3] e pelo comportamento da função logarítmica, teremos que [tex3]\sin^{\sin x}x<\cos x,0\leq x\leq\frac{2π}{9}[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Perceba que é suficiente provar que
[tex3]F(x)=\log(\cos(x))-\log(\sin(x)^{\sin(x)})
[/tex3] é não negativo no intervalo dado.
Assim, perceba que [tex3]F(2\pi/9)\approx 0.0175591>0
[/tex3]
Nós também podemos definir que [tex3]F(0)=0[/tex3]
Logo, resta provar que a concavidade de [tex3]F(x)[/tex3] é voltada para baixo, para provar que [tex3]F(x) [/tex3] é não negativa em todo esse intervalo.
Temos que [tex3]F''(x)=-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x) (1+\log (\sin (x)))
[/tex3]
Agora, vamos usar o fato que [tex3]\sin(x)\log(\sin(x))<0
[/tex3] no intervalo dado.
Daí, [tex3]F''(x)<-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x)\cdot 1
[/tex3]
Nós podemos multiplicar toda a expressão por [tex3]\sin x[/tex3] sem mudar o sinal, ficando com [tex3](-\sec ^2(x)-\cos (x) \cot (x)+\sin (x))\cdot\sin(x) = -\cos (2 x)-\tan (x) \sec (x)<0
[/tex3]
Assim, [tex3]F(x)>0
,0\leq x\leq\frac{2π}{9}[/tex3] e pelo comportamento da função logarítmica, teremos que [tex3]\sin^{\sin x}x<\cos x,0\leq x\leq\frac{2π}{9}[/tex3]
[tex3]Q.E.D.\blacksquare [/tex3]
Dias de luta, dias de glória.
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