Olimpíadas ⇒ (OBM 2008) Areia no Cone Tópico resolvido

[canguru]

O brinquedo favorito de Cícero é um cone reto de vidro com 5 centímetros de altura. Cícero encheu o cone com areia até a altura de 3 cm. Em seguida, Cícero fechou a base do cone e virou-o de ponta cabeça para baixo.
A que altura da base do cone, em cm, ficou a marca de areia?

a) [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

b) [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

c) [tex3]5 - \sqrt[3]{98}[/tex3]

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[tex3]5 - \sqrt[3]{98}[/tex3]

d) [tex3]\sqrt[3]{98}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{98}[/tex3]

e) [tex3]1 - \left(\frac{\sqrt[3]{98}}{5}\right)[/tex3]

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[tex3]1 - \left(\frac{\sqrt[3]{98}}{5}\right)[/tex3]

Não tenho o gabarito, sinto muito, mas ficaria muito grato se alguém pudesse me explicar o passo a passo da questão.

[deOliveira]

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Observando a Figura I e usando o Teorema de Tales temos:

[tex3]\frac R5=\frac r3\\\implies r=\frac {3R}5[/tex3]

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[tex3]\frac R5=\frac r3\\\implies r=\frac {3R}5[/tex3]

Com isso podemos calcular o volume [tex3]V[/tex3]

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[tex3]V[/tex3]

de areia.

[tex3]V=\frac{3r^2\pi}3\\V=r^2\pi\\\boxed{V=\frac{9R^2\pi}{25}}[/tex3]

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[tex3]V=\frac{3r^2\pi}3\\V=r^2\pi\\\boxed{V=\frac{9R^2\pi}{25}}[/tex3]

Observando a Figura II e usando o Teorema de Tales temos:

[tex3]\frac R5=\frac x{5-h}\\\implies\boxed{\frac Rx=\frac 5{5-h}}(*)[/tex3]

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[tex3]\frac R5=\frac x{5-h}\\\implies\boxed{\frac Rx=\frac 5{5-h}}(*)[/tex3]

Ainda com a Figura II temos que o o volume de areia pode ser expresso por:

[tex3]V=\frac{5R^2\pi-(5-h)x^2\pi}3[/tex3]

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[tex3]V=\frac{5R^2\pi-(5-h)x^2\pi}3[/tex3]

Igualando com o volume encontrado na primeira parte temos:

[tex3]\frac{5R^2\pi-(5-h)x^2\pi}3=\frac{9R^2\pi}{25}\\\frac{5R^2-(5-h)x^2}3=\frac{9R^2}{25}\\-\frac{(5-h)x^2}3=\frac{9R^2}{25}-\frac{5R^2}3\\
-\frac{(5-h)x^2}3=\frac{-98R^2}{75}\\(5-h)x^2=\frac{98R^2}{25}\\\frac{25(5-h)}{98}=\frac{R^2}{x^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{5R^2\pi-(5-h)x^2\pi}3=\frac{9R^2\pi}{25}\\\frac{5R^2-(5-h)x^2}3=\frac{9R^2}{25}\\-\frac{(5-h)x^2}3=\frac{9R^2}{25}-\frac{5R^2}3\\
-\frac{(5-h)x^2}3=\frac{-98R^2}{75}\\(5-h)x^2=\frac{98R^2}{25}\\\frac{25(5-h)}{98}=\frac{R^2}{x^2}[/tex3]

Usando [tex3](*)[/tex3]

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[tex3](*)[/tex3]

:

[tex3]\frac{25(5-h)}{98}=\left(\frac 5{5-h}\right)^2\\
\frac{25(5-h)}{98}=\frac{25}{(5-h)^2}\\(5-h)^3=98\\5-h=\sqrt[3]{98}\\\boxed{h=5-\sqrt[3]{98}}[/tex3]

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[tex3]\frac{25(5-h)}{98}=\left(\frac 5{5-h}\right)^2\\
\frac{25(5-h)}{98}=\frac{25}{(5-h)^2}\\(5-h)^3=98\\5-h=\sqrt[3]{98}\\\boxed{h=5-\sqrt[3]{98}}[/tex3]

Espero ter ajudado .