OlimpíadasTrigonometria

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Movido de IME / ITA para Olimpíadas em Ter 11 Fev, 2020 13:19 por ALDRIN

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Hanon
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Fev 2020 12 23:35

Trigonometria

Mensagem não lida por Hanon »

Determine o valor de:
[tex3]\sec^{-1}\(\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{10}\sec\(\frac{7\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\)\sec\(\frac{7\pi}{12}+\frac{(k+1)\pi}{2}\)\)[/tex3]
No intervalo [tex3]\[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\][/tex3] .


obs.: Não tenho gabarito!




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Tassandro
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Abr 2020 18 14:09

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por Tassandro »

Hanon,
[tex3]\text{Seja }S = \sec^{-1}(\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{10}\sec(\frac{7\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})\sec(\frac{7\pi}{12}+\frac{(k+1)\pi}{2})),x\in[-\frac{π}{4};\frac{3π}{4}]\\

\text{Seja }T_k = \sec\left(\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}\right)\cdot \sec\left(\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{(k+1)\pi}{2}\right)
= \dfrac{2}{2\cos\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\right)\cdot \cos\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{(k+1)\pi}{2}\right)}
= \dfrac{2}{\cos\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{k\pi}{2} - \frac{7\pi}{12}-\frac{(k+1)\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{k\pi}{2} + \frac{7\pi}{12}+\frac{(k+1)\pi}{2}\right) }
= \dfrac{2}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{(2k+1)\pi}{2} \right) }
= \dfrac{2}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{(2k+1)\pi}{2} \right) }\\

\text{Para k = 0 : }\,\, T_0 = \dfrac{2}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{\pi}{2} \right) } = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4\\
\text{Para k = 1 : }\,\, T_1 = \dfrac{2}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{3\pi}{2} \right) } = \dfrac{2}{\frac{-1}{2}} = -4\\
\text{Para k = 2 : }\,\, T_2 = \dfrac{2}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}+\frac{5\pi}{2} \right) } = \dfrac{2}{\frac{1}{2}} = 4\\
\cdots \\
\sum\limits_{k=0}^{10} T_k = \left[4 - 4 + 4 - 4 + \cdots + 4 \right] = 4\\
\therefore S = \sec^{-1} \left[\dfrac{1}{4} \cdot 4 \right] = \sec^{-1} (1) = \boxed{\boxed{0}}
[/tex3]
✅
Vale, bonam fortunam!

Última edição: Tassandro (Sáb 18 Abr, 2020 14:14). Total de 2 vezes.


Dias de luta, dias de glória.

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