Olimpíadas ⇒ (POTI) Divisibilidade Tópico resolvido

[goncalves3718]

Mostre que para [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

ímpar, [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

divide [tex3]1^n + 2^n + ... + (n − 1)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^n + 2^n + ... + (n − 1)^n[/tex3]

.

[deOliveira]

Temos a seguinte fatoração para [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

ímpar
[tex3]x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}\cdot y+x^{n-3}\cdot y^2+...-x\cdot y^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}\cdot y+x^{n-3}\cdot y^2+...-x\cdot y^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]

Repare que como [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

é ímpar nós temos [tex3]n-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n-1[/tex3]

parcelas que é um número par.

[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\1^n+2^n+...+\underbrace{\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n}_{parcelas\ centrais}+...+(n-2)^n+(n-1)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\1^n+2^n+...+\underbrace{\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n}_{parcelas\ centrais}+...+(n-2)^n+(n-1)^n[/tex3]

Agora a gente vai agrupar essas parcelas em pares, igual a gente faz em soma de progressão aritmética.

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[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\
[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\
[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

Agora vamos analisar o que acontece com cada uma das parcelas.

[tex3]1^n+(n-1)^n=(1+n-1)(1^{n-1}-1^{n-2}\cdot(n-1)+...-1\cdot(n-1)^{n-2}+(n-1)^{n-1})\\n\cdot(1^{n-1}-1^{n-2}\cdot(n-1)+...-1\cdot(n-1)^{n-2}+(n-1)^{n-1})\\\implies n|(1^n+(n-1)^n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^n+(n-1)^n=(1+n-1)(1^{n-1}-1^{n-2}\cdot(n-1)+...-1\cdot(n-1)^{n-2}+(n-1)^{n-1})\\n\cdot(1^{n-1}-1^{n-2}\cdot(n-1)+...-1\cdot(n-1)^{n-2}+(n-1)^{n-1})\\\implies n|(1^n+(n-1)^n)[/tex3]

[tex3]2^n+(n-2)^n=(2+n-2)(2^{n-1}-2^{n-2}\cdot(n-2)+...-1\cdot(n-2)^{n-2}+(n-2)^{n-1})\\2^n+(n-2)^n=n\cdot(2^{n-1}-2^{n-2}\cdot(n-2)+...-1\cdot(n-2)^{n-2}+(n-2)^{n-1})\\\implies n|(2^n+(n-2)^n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^n+(n-2)^n=(2+n-2)(2^{n-1}-2^{n-2}\cdot(n-2)+...-1\cdot(n-2)^{n-2}+(n-2)^{n-1})\\2^n+(n-2)^n=n\cdot(2^{n-1}-2^{n-2}\cdot(n-2)+...-1\cdot(n-2)^{n-2}+(n-2)^{n-1})\\\implies n|(2^n+(n-2)^n)[/tex3]

[tex3].\\.\\.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3].\\.\\.[/tex3]

[tex3]\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n=\left(\frac{n-1}2+n-\frac{n-1}2\right)\left[\left(\frac{n-1}2\right)^{n-1}-\left(\frac{n-1}2\right)^{n-2}\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)+...-\left(\frac{n-1}2\right)\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-2}+\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-1}\right]\\\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n=n\cdot\left[\left(\frac{n-1}2\right)^{n-1}-\left(\frac{n-1}2\right)^{n-2}\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)+...-\left(\frac{n-1}2\right)\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-2}+\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-1}\right]\\\implies n|\left(\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n=\left(\frac{n-1}2+n-\frac{n-1}2\right)\left[\left(\frac{n-1}2\right)^{n-1}-\left(\frac{n-1}2\right)^{n-2}\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)+...-\left(\frac{n-1}2\right)\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-2}+\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-1}\right]\\\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n=n\cdot\left[\left(\frac{n-1}2\right)^{n-1}-\left(\frac{n-1}2\right)^{n-2}\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)+...-\left(\frac{n-1}2\right)\cdot\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-2}+\left(n-\frac{n-1}2\right)^{n-1}\right]\\\implies n|\left(\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right)[/tex3]

Dessa forma temos que todas as parcelas de [tex3][1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

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[tex3][1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

são divisíveis por [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

e portanto [tex3]n|[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

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[tex3]n|[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

E como [tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

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[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=[1^n+(n-1)^n]+[2+(n-2)^n]+...+\left[\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n\right][/tex3]

temos que
[tex3]n|(1^n+2^n+...+(n-1)^n)[/tex3]

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[tex3]n|(1^n+2^n+...+(n-1)^n)[/tex3]

Espero ter ajudado .

[goncalves3718]

[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\1^n+2^n+...+\underbrace{\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n}_{parcelas\ centrais}+...+(n-2)^n+(n-1)^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1^n+2^n+...+(n-1)^n=\\1^n+2^n+...+\underbrace{\left(\frac{n-1}2\right)^n+\left(n-\frac{n-1}2\right)^n}_{parcelas\ centrais}+...+(n-2)^n+(n-1)^n[/tex3]

Não entendi isso não, tenta explicar mais detalhado por favor! Achei complicado

[deOliveira]

Eu só abri e mostrei pra você qual vai ser o meio, pra gente poder formar os pares, já que o meio vai ser o último par.
Vai até [tex3](n-1)^2[/tex3]

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[tex3](n-1)^2[/tex3]

então uma das parcels do meio vai ser [tex3]\left(\frac{n-1}2\right)^n[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{n-1}2\right)^n[/tex3]

a próxima parcela é [tex3]\left(\frac{n-1}2+1\right)^n=\left(n-\frac{n-1}2\right)^n[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{n-1}2+1\right)^n=\left(n-\frac{n-1}2\right)^n[/tex3]

Eu vou fazer um exemplo numérico pra ver se fica mais claro.
[tex3]n=7[/tex3]

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[tex3]n=7[/tex3]

[tex3]1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7[/tex3]

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[tex3]1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7[/tex3]

As parcelas centrais são [tex3]3^7=\left(\frac{7-1}2\right)^7[/tex3]

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[tex3]3^7=\left(\frac{7-1}2\right)^7[/tex3]

e [tex3]\left(7-\frac{7-1}2\right)^7[/tex3]

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[tex3]\left(7-\frac{7-1}2\right)^7[/tex3]

E agora a gente vai agrupar as parcelas

[tex3]1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7=[1^7+6^7]+[2^7+5^7]+[3^7+4^7][/tex3]

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[tex3]1^7+2^7+3^7+4^7+5^7+6^7=[1^7+6^7]+[2^7+5^7]+[3^7+4^7][/tex3]

E a partir daqui faz a fatoração e mostra que cada uma dessas parcelas é divisível por 7.
Vou fazer uma de exemplo.
[tex3][2^7+5^7]=(2+5)(2^6-2^5\cdot5+2^4\cdot5^2-2^3\cdot5^3+2^2\cdot5^4-2\cdot5^5+5^6)=\\7\cdot(2^6-2^5\cdot5+2^4\cdot5^2-2^3\cdot5^3+2^2\cdot5^4-2\cdot5^5+5^6)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][2^7+5^7]=(2+5)(2^6-2^5\cdot5+2^4\cdot5^2-2^3\cdot5^3+2^2\cdot5^4-2\cdot5^5+5^6)=\\7\cdot(2^6-2^5\cdot5+2^4\cdot5^2-2^3\cdot5^3+2^2\cdot5^4-2\cdot5^5+5^6)[/tex3]

Espero ter ajudado .

[goncalves3718]

Ahhh, vou terminar de ler sua resposta!