OlimpíadasGeometria plana - problema 28

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Nov 2019 23 09:04

Geometria plana - problema 28

Mensagem não lida por jvmago » Sáb 23 Nov, 2019 09:04

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um quadrado de diagonal [tex3]AC[/tex3] tal que os pontos [tex3]M[/tex3] e [tex3]N [/tex3] estejam contidos nela, Determine o segmento [tex3]MN[/tex3] se [tex3]AM=a[/tex3] , [tex3]NC=b[/tex3] e [tex3]MbN=45°[/tex3]



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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Nov 2019 27 22:29

Re: Geometria plana - problema 28

Mensagem não lida por jvmago » Qua 27 Nov, 2019 22:29

15749039819182294509207571674287.jpg
15749039819182294509207571674287.jpg (30.88 KiB) Exibido 45 vezes
Esse é aquele tipo de problema de semelhança onde seus olhos precisam estar afiados!

Comecemos chamando o lado do quadrado AB=l

Chamando AbM= k e NbC= j vemos com facilidade que BnA= 45+j e que BnC= 45+k

Note agora que os triângulos ABN e BCM são semelhantes e isso é brilhante! Aplicando semelhança teremos

AB/(x+b) = (x+a)/BC mas BC=AB= l então

l²=(x+a)(x+b)

Note agora que ao traçarmos a diagonal BD temos P como centro do quadrado e portanto PB=PC=(x+a+b)/2 de modo que por Pitágoras em PBC:

BC=l=√2(x+a+b)/2 usando essa informação na primeira chegamos em:

(x+a+b)²=2(x+a)(x+b)
x²+a²+b²+2ax+2bx+2ab=2x²+2ax+2bx+2ab

AGORA ACABOU POIS TEMOS CORTES VIOLENTOS FICANDO NO FINAL

x²+a²+b²=2x² tal que

[tex3]x=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]

PIMBADA



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