Me lembrei de uma questão que gostei bastante quando estudei introdução à aritmética e não sei onde se encaixaria, por isso estou postando aqui. Eu consegui fazer na época mas foi um pouco desafiador.
Seja [tex3]p(x)[/tex3]um polinômio com coeficientes inteiros. Mostre que se [tex3]p(x)[/tex3] tem uma raiz inteira, então [tex3]p(0)[/tex3] ou [tex3]p(1)[/tex3] é par.
Acho que não precisarão de dica, mas caso precisem, só avisar rsrsrs.
Olimpíadas ⇒ p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par. Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2019
22
15:52
p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
Última edição: DanielDC (Ter 22 Out, 2019 15:54). Total de 2 vezes.
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snooplammer 
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Out 2019
23
00:09
Re: p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
[tex3]P(x)=(x-k)Q(x)[/tex3]
Vamos considerar que exista [tex3]Q(x)[/tex3] com coeficientes inteiros
[tex3]P(0)=-k Q(0)[/tex3]
[tex3]P(1)=(1-k)Q(1)[/tex3]
Se k for par, [tex3]P(0)[/tex3] é par e [tex3]P(1)[/tex3] é ímpar
Se k for ímpar [tex3]P(0)[/tex3] é ímpar e [tex3]P(1)[/tex3] é par
Vamos considerar que exista [tex3]Q(x)[/tex3] com coeficientes inteiros
[tex3]P(0)=-k Q(0)[/tex3]
[tex3]P(1)=(1-k)Q(1)[/tex3]
Se k for par, [tex3]P(0)[/tex3] é par e [tex3]P(1)[/tex3] é ímpar
Se k for ímpar [tex3]P(0)[/tex3] é ímpar e [tex3]P(1)[/tex3] é par
Última edição: snooplammer (Qua 23 Out, 2019 00:10). Total de 1 vez.
Out 2019
23
09:09
Re: p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
Ótimo, eu fiz de uma maneira um pouco mais trabalhosasnooplammer escreveu: ↑Qua 23 Out, 2019 00:09[tex3]P(x)=(x-k)Q(x)[/tex3]
Vamos considerar que exista [tex3]Q(x)[/tex3] com coeficientes inteiros
[tex3]P(0)=-k Q(0)[/tex3]
[tex3]P(1)=(1-k)Q(1)[/tex3]
Se k for par, [tex3]P(0)[/tex3] é par e [tex3]P(1)[/tex3] é ímpar
Se k for ímpar [tex3]P(0)[/tex3] é ímpar e [tex3]P(1)[/tex3] é par
só não entendi no fim a conclusão que [tex3]P(1)[/tex3] é ímpar na penúltima linha e [tex3]P(0)[/tex3] é ímpar na última.
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snooplammer
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Out 2019
23
09:40
Re: p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
Seja [tex3]k=2n[/tex3]
, então [tex3]1-k=1-2n=-(2n-1)[/tex3]
que é um número ímpar
Se [tex3]k=2n+1[/tex3] então [tex3]1-k=-2n[/tex3] que é um número par
Se [tex3]k=2n+1[/tex3] então [tex3]1-k=-2n[/tex3] que é um número par
Out 2019
23
10:07
Re: p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
Eu sei, acontece que se k for par e [tex3]Q(0)[/tex3] ou [tex3]Q(1)[/tex3] é par, então a multiplicação por k pode ocorrer de ambas serem par, então pode acontecer de P(0) e P(1) serem pares ao mesmo tempo. Pelo que entendi consegue-se provar que um ou outro é par pelo enunciado.snooplammer escreveu: ↑Qua 23 Out, 2019 09:40Seja [tex3]k=2n[/tex3] , então [tex3]1-k=1-2n=-(2n-1)[/tex3] que é um número ímpar
Se [tex3]k=2n+1[/tex3] então [tex3]1-k=-2n[/tex3] que é um número par
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snooplammer
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Out 2019
23
10:44
Re: p(x) um polinômio com coeficientes inteiros, se p(x) tem uma raiz inteira, então p(0) ou p(1) é par.
Ah, foi falta de atenção minha, só se pode garantir sobre ser par mesmo 
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