OlimpíadasÁrea do triângulo Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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edenialopes
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Set 2019 15 18:36

Área do triângulo

Mensagem não lida por edenialopes » Dom 15 Set, 2019 18:36

Na figura, AB=AC e DE É Diâmetro do semicírculo . Determine a área de ABC:
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sousóeu
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Set 2019 15 20:52

Re: Área do triângulo

Mensagem não lida por sousóeu » Dom 15 Set, 2019 20:52

Seja [tex3]K[/tex3] o ponto de encontro do lado [tex3]AC[/tex3] com o semicírculo desenhado.

note que, como [tex3]DE[/tex3] é diâmetro, então [tex3]\angle DKE = 90[/tex3] pois enxerga um arco de 180º (seria a outra metade do círculo que não foi desenhada.

Logo [tex3]DK = R \sqrt2[/tex3] onde [tex3]2R = DE[/tex3]
agora faça lei dos cossenos no triângulo [tex3]\Delta DKC[/tex3] :

[tex3]KC^2 = DC^2 + DK^2 - 2DC \cdot DK \cdot \cos(45)[/tex3]
logo:
[tex3]13^2 = 7^2 + 2R^2 - 2R \cdot 7 \iff 120 = 2R^2 - 14R \iff 60 = R^2 - 7R[/tex3]
de onde [tex3]R=-5[/tex3] (absurdo) ou [tex3]R = 12[/tex3]

seja [tex3]O[/tex3] o centro do círculo, olhe o triângulo retângulo [tex3]\Delta CKO[/tex3] :
[tex3]\cos (\angle OCK) = \frac{5}{13} \implies \tg(\angle OCK) = \frac{12}{5}[/tex3]
Seja [tex3]T[/tex3] o ponto de tangência do lado [tex3]AB[/tex3] com o semi-círculo:
[tex3]\Delta OTB[/tex3] é congruente ao [tex3]\Delta CKO[/tex3] ambos retângulos de mesmo cateto e ângulos.
Logo [tex3]OB = CK = 13[/tex3]
logo a base [tex3]BC[/tex3] do triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é: [tex3]CO+OB = 5+13=18[/tex3]
temos a base, temos a tangente dos ângulos da base então:
[tex3]S = \frac{BC \cdot h}2 = (\frac{BC}2)^2 \cdot \tg(\angle OCK) = 81 \cdot \frac{12}5[/tex3]
acho que é isso




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edenialopes
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Set 2019 15 21:34

Re: Área do triângulo

Mensagem não lida por edenialopes » Dom 15 Set, 2019 21:34

Obrigada, muito bem explicado!




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