Olimpíadas"Aritmética, operação com os naturais" Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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"Aritmética, operação com os naturais"

Mensagem não lida por MedeirosU » Sex 30 Ago, 2019 07:41

(OBMEP) Na figura, cada um dos 4 segmentos contém três círculos. Os círculos devem ser numerados de 1 a 9, de modo que a soma dos números nos três círculos de cada segmento seja igual para todos os segmentos. Qual é o menor número que pode ser escrito no círculo cinza?
20190830_063617.jpg
20190830_063617.jpg (16.29 KiB) Exibido 141 vezes
:?:
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
Resposta

A

Última edição: MedeirosU (Sex 30 Ago, 2019 07:42). Total de 1 vez.


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Re: "Aritmética, operação com os naturais"

Mensagem não lida por LostWalker » Sex 30 Ago, 2019 10:18

Achei esse divertido, então vou montar aqui. Eu usei um pouco de Hipótese, e misturei com aritmética


A Primeira notação é que as contas serão algo como (Vou usar termos como se fosse na ordem da esquerda para direita):

[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{5}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\color{Green}a_{7}}[/tex3]

[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_1+a_2+{\color{Green}a_3}=S[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,{\color{Green}a_3}+a_4+{\color{Green}a_5}=S[/tex3]
[tex3]III\,\,{\color{Green}a_5}+a_6+{\color{Green}a_7}=S[/tex3]
[tex3]IV\,\,\,{\color{Green}a_7}+a_8+a_9=S[/tex3]

Os números Duplicados são os [tex3]{\color{Green}\mbox{verdes}}[/tex3] . Sendo o termo central o [tex3]{\color{Green}a_5}[/tex3] . Note que [tex3]I[/tex3] e [tex3]IV[/tex3] tem [tex3]1[/tex3] e [tex3]II[/tex3] e [tex3]III[/tex3] tem [tex3]2[/tex3]


Vamos trabalhar usando Hipóteses

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1º Hipótese

Os números [tex3]1,2,3[/tex3] estão em ramos separados. Por serem os menores elementos, juntas os mesmo como criar um ramo de valor pequeno. Normalmente eu uso como Hipótese e nem testo, mas com propósito de explicar melhor, vou mostrar

[tex3]{\color{Green}1}+{\color{Green}2}+9=12[/tex3]
[tex3]8+{\color{Green}3}+{\color{Green}1}=12[/tex3]
[tex3]7+{\color{Green}3}+{\color{Green}2}=12[/tex3] Aqui dois números Duplicados aparecem pela terceira vez, o que é impossível

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2º Hipótese

O número [tex3]9[/tex3] estará no mesmo ramo do número [tex3]1[/tex3] . Visto que [tex3]9[/tex3] é a maior soma, ele provavelmente está acompanhando o [tex3]1[/tex3] que é a menor

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1º Afirmação

Se todos os ramos possuem mesmo valor, somar todos os termos será igual a um múltiplo de 4. Logo vamos descrever

[tex3]\frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+a_3+a_5+a_7}{4}=\frac{45+a_3+a_5+a_7}{4}=11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3º Hipótese

Se [tex3]1[/tex3] e [tex3]9[/tex3] estão juntos, então eles mais um dos termos terá o mesmo resultado da afirmação acima, logo

[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=1+9+a_?[/tex3]

[tex3]11+\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=10+a_?[/tex3]

[tex3]\frac{1+a_3+a_5+a_7}{4}=a_?-1[/tex3]

[tex3]1+a_3+a_5+a_7=4a_?-4[/tex3]

[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]


Por fim, vamos ir testando valores, sabendo que:

[tex3]I\,\,\,\,\,\,\,\,a_?[/tex3] Não pode nem ser [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]II\,\,\,\,\,a_?[/tex3] pode ser igual a [tex3]a_3,a_5\mbox{ ou }a_7[/tex3] desde que o valor não seja [tex3]1[/tex3] ou [tex3]9[/tex3]
[tex3]III\,\,\,[/tex3] O menor valor de [tex3]a_3+a_5+a_7=1+2+3=6[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4º Hipótese

De [tex3]1,2 \mbox{ ou }3[/tex3] , apenas um deles pode estar pode estar como Duplicado para não ficar gerando médias muito baixas, pois isso causa o mesmo conflito da 1º Hipótese

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1º Tentativa

Vamos tentar claro usar o [tex3]1[/tex3] como [tex3]a_5[/tex3]

[tex3]5+a_3+a_5+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]

Não dá para [tex3]8[/tex3] nem [tex3]12[/tex3] pelas Hipóteses anteriores. Tentando para [tex3]16[/tex3] :

[tex3]6+a_3+a_7=4a_?[/tex3]
[tex3]6+4+6=4a_?[/tex3]
[tex3]a_?=4[/tex3]

Jogando os resultados que já temos como

[tex3]a_3=4\\a_4=9\\a_5=1\mbox{ Soma igual a 14}\\a_7=6[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Logo, possível solução, segundo a 1º Tentativa

[tex3]a_{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{9}\\\,\,\,\,\,\,\,a_{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{8}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_{7}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3\\\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\,\,\,\,\,\,\,9\,\,\,\,\,\,\,\,\,7\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6}[/tex3]

[tex3]\color{Blue}\mbox{Alternativa A}[/tex3]

Pode ter parecido confuso ou longo, mas eu respondi a pergunta em 3 min, essas Hipóteses são bem manjadas, tendo ideia delas, não leva muito tempo na prática. Agora ter escrito esse post explicando cada uma... bom... isso demorou XD

Última edição: LostWalker (Sex 30 Ago, 2019 10:31). Total de 3 vezes.


"When the first living thing existed, i was there, waiting. When the last living thing dies, my job will be Finished. I'll put the chairs on the tables, turn out the lights and lock the Universe behind me when i Leave"
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