Em um triângulo ABC, BÂC=90º. O ponto D pertence ao lado BC e satisfaz a relação B^DA=2BÂD.Demontre que ;
1/AD=1/2( (1/BD) + (1/CD) )
Olimpíadas ⇒ (Báltica-98) Tópico resolvido
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Jul 2019
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16:17
Re: (Báltica-98)
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[tex3]\frac{AD}{sen(180°-3\alpha)}=\frac{AD}{sen3\alpha}=\frac{BD}{sen\alpha}[/tex3]
Lei dos Senos no triângulo ACD:
[tex3]\frac{AD}{-cos3\alpha}=\frac{CD}{cos\alpha}[/tex3]
Assim, temos que:
[tex3]\frac{AD}{BD}=\frac{sen3\alpha}{sen\alpha}[/tex3]
[tex3]\frac{AD}{CD}=-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}[/tex3]
Perceba que [tex3]\frac{AD}{BD}+\frac{AD}{CD} = \frac{sen3\alpha}{sen\alpha}-\frac{cos3\alpha}{cos\alpha}=\frac{sen2\alpha}{sen\alpha.cos\alpha}=2[/tex3]
Passando o AD para o lado e o 2 para o outro, chegamos no enunciado.