OlimpíadasProdutos Notáveis (POTI) N2 Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Matheusp60
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Jul 2019 08 15:34

Produtos Notáveis (POTI) N2

Mensagem não lida por Matheusp60 » Seg 08 Jul, 2019 15:34

Seja [tex3]a\neq 1[/tex3] um número real. Simplifique a expressão
[tex3]\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{a^4}\right)...\left(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex3] .




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rodBR
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Jul 2019 08 16:53

Re: Produtos Notáveis (POTI) N2

Mensagem não lida por rodBR » Seg 08 Jul, 2019 16:53

[tex3]E=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{a^2}\right)\left(1+\frac{1}{a^4}\right)...\left(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\right)[/tex3]
Multiplicando por [tex3]\frac{\(1-\frac{1}{a}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}[/tex3] , segue que:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)...\(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(1-\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^2}\)\(1+\frac{1}{a^4}\)\ ... \ \(1+\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\[/tex3]

Note que isso vai gerar várias diferenças de quadrados restando apenas:
[tex3]E=\frac{\(1-\frac{1}{a^{2^{100}}}\)}{\(1-\frac{1}{a}\)}\\
E=\frac{\(\frac{a^{2^{100}}-1}{a^{2^{100}}}\)}{\frac{a-1}{a}}[/tex3]



att>>rodBR

Última edição: rodBR (Seg 08 Jul, 2019 17:03). Total de 1 vez.
Razão: corrigir parte final da resolução.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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