Olimpíadas(Romênia TST) Recorrência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Jun 2019 10 17:10

(Romênia TST) Recorrência

Mensagem não lida por Babi123 » Seg 10 Jun, 2019 17:10

(Romênia TST) Considere a sequência [tex3](a_n)_{n\geq0}[/tex3] , definida por [tex3]a_0=a_1=1[/tex3] e [tex3]a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}[/tex3] , [tex3]n\geq1[/tex3] . Prove que para todo [tex3]n\geq0, \ 2a_n-1[/tex3] é um quadrado perfeito.




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Ittalo25
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Re: (Romênia TST) Recorrência

Mensagem não lida por Ittalo25 » Seg 10 Jun, 2019 18:15

O polinômio característico da recorrência é [tex3]x^2=14x-1 [/tex3] , ou seja:

[tex3]a_n = x\cdot (7+4\sqrt{3})^n+y\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]

De onde:

[tex3]\begin{cases}
x\cdot (7+4\sqrt{3})^0+y\cdot (7-4\sqrt{3})^0=1 \\
x\cdot (7+4\sqrt{3})^1+y\cdot (7-4\sqrt{3})^1=1
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \\
y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}
\end{cases}[/tex3]

Então:

[tex3]a_n = \(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]
[tex3]2a_n-1 = \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n-1 [/tex3]
[tex3]2a_n-1 = \frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}+\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}-1 [/tex3]
[tex3]2a_n-1 = \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}}-\sqrt{\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}}\)^2 [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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