Bom dia senhores, como de costume no segundo dia pós criação do tópico eu trago minha solução. Para aqueles que ainda desejam continuar tentando um saída posso afirmar que tem duas saídas: pontos de tangencia e trigonometria
Essa vai ser a segunda de muitas SANGAKUS, pretendo colocar todas as elas nessa série de tópicos que virão logo após eu terminar fisica.
Resumidamente Sangakus foram tábuas orientais com generalizações geométricas muito importantes para os estudo da geometria e para a matemática em si: [tex3]\frac{1}{\sqrt{R}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}}[/tex3]
(esta é um exemplo).
Outro bom ponto dessas tabuas são seus bons niveis de demonstração alguns doidos outros insanos o que se torna um otimo exercicio para quem ja saturou de peruanos/russos assim como esses anteriores, agrega em muito no raciocínio do aluno. Meu maior intuito agora é disponibilizar essas maravilhas em PT-BR com soluções em PT-BR infelizmente você precisa adentrar muuuuuuito para encontrar algo legal com boas explicações porém ajuda no ponto em que precisamos raciocinar por nós mesmos para resolver!!
-----DICAS-----
Para trigonometria faça o angulo [tex3]MpO=\theta[/tex3]
, brinque com pontos de tangencia sem ficar com medo e as coisas vão ficar bem (não fique acanhado em usar soma de arcos!!!)
A geométrica eu farei aqui!!!
-----RESOLUÇÃO------
Para essa questão recomendo
https://www.youtube.com/watch?v=m3zvVGJrTP8
Observe bem a figura e partiu!!!
Como o Mestre SouSóeu provou os pontos [tex3]O',O,P,A,H[/tex3]
fazem parte de um homotético muito doido e portanto estes pontos serão colineares
Por trigonometria no [tex3]\Delta AGO'[/tex3]
tiramos:
[tex3]AG=AF=r\sqrt{3}[/tex3]
e [tex3]AO'=2r[/tex3]
Se [tex3]AB=2a[/tex3]
então [tex3]BF=2a-r\sqrt{3}[/tex3]
Se [tex3]BF[/tex3]
é segmento tangente então [tex3]BF=BN=2a-r\sqrt{3}[/tex3]
Pelo gráfico temos [tex3]O'F=O'G=OH=OM=OL=O'K=O'N=r[/tex3]
(K é ponto de tangencia entra P e E esqueci de por na foto) esse dado é importante pois pelo caso [tex3]LAA_0[/tex3]
[tex3]\Delta OMP = \Delta OLP = \Delta PNO' = \Delta PKO'[/tex3]
e portanto:
[tex3]KP=PN=MP=PL[/tex3]
tal que [tex3]P[/tex3]
é ponto médio de [tex3]MN[/tex3]
essa é outra informação importantíssima!!
Se [tex3]H[/tex3]
é o pé da altura então [tex3]BH=HC=a[/tex3]
Como [tex3]H[/tex3]
é ponto de tangencia então [tex3]BH=BM=a[/tex3]
mas [tex3]BN=2a-r\sqrt{3}[/tex3]
ENTÃO [tex3]MN=a-r\sqrt{3}[/tex3]
Sabemos pela congruencia que [tex3]MP=PN=\frac{MN}{2}=\frac{a-r\sqrt{3}}{2}[/tex3]
Nosso problema agora se resume em encontrar [tex3]OO'[/tex3]
e isso é facil!!!
[tex3]AH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}[/tex3]
como [tex3]O'A=2r[/tex3]
E [tex3]OH=r[/tex3]
ENTÃO [tex3]OO'=a\sqrt{3}-3r[/tex3]
Sabemos pela congruencia que [tex3]O'P=PO=\frac{OO'}{2}=\frac{a\sqrt{3}-3r}{2}[/tex3]
Agora acabou!!!! aplicando pitágoras no [tex3]\Delta OMP[/tex3]
[tex3](\frac{a-r\sqrt{3}}{2})^2+r^2=(\frac{a\sqrt{3}-3r}{2})^2[/tex3]
[tex3]3a^2+9r^2-6ar\sqrt{3}=a^2-2ar\sqrt{3}+3r^2+4r^2[/tex3]
[tex3]2a^2-4ar\sqrt{3}+2r^2=0[/tex3]
[tex3]r^2-2ar\sqrt{3}+a^2=0[/tex3]
[tex3]\Delta = 12a^2-4a^2=8a^2[/tex3]
[tex3]r=\frac{2a\sqrt{3}+-2a\sqrt{2}}{2}[/tex3]
[tex3]r=a(\sqrt{3}+-\sqrt{2})[/tex3]
Para [tex3]r=a(\sqrt{3}+\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]BF=2a-r\sqrt{3}<0[/tex3]
PORTANTO SÓ CONVÉM [tex3]r=a(\sqrt{3}-\sqrt{2})[/tex3]
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.