Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
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rean 
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Jun 2008
12
08:23
Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
Depois de quantos algarismos começa a parte periódica da expansão decimal de [tex3]\frac{11}{10!}.[/tex3]
Última edição: rean (Qui 12 Jun, 2008 08:23). Total de 1 vez.
No mundo tudo está organizado segundo os números e as formas matemática
Rean
Rean
Set 2011
08
15:26
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
eu so comsegui dese jeito
[tex3]\frac{11}{10!} = \frac{11}{3628800}[/tex3]
[tex3]32989,909...[/tex3]
logo são
[tex3]\frac{11}{10!} = \frac{11}{3628800}[/tex3]
[tex3]32989,909...[/tex3]
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- 3,2,9,8,9
Última edição: jade (Qui 08 Set, 2011 15:26). Total de 1 vez.
Set 2011
12
13:00
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
Bom isso ficou muito indutivo, vamos tentar fazer mais matemáticamente:
Primeiramente:
[tex3]\frac{11}{10!}=\frac{11}{10.9.8.7.6.5.4.3.2}[/tex3]
existe uma matéria(a qual não sei o nome) que pode ser encontrada no livro "Praticando a aritmética" que dá pra descobrir quantos algarismos inteiros essa divisão terá, porém isso é referente à quantidade de algarismos da dízima.
Por outro lado existem propriedades a saber:
os números [tex3]2[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]10[/tex3] nunca formam dízima periódica, para isso precisamos saber quantos [tex3]2's[/tex3] , [tex3]5's[/tex3] existem.
OBS.:[tex3]10=2.5[/tex3] por isso contando o [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3] não há necessidade de contar o [tex3]10[/tex3] .
[tex3]10=2.5[/tex3]
[tex3]9=3.3[/tex3]
[tex3]8=2.2.2[/tex3]
[tex3]7=7[/tex3] é primo.
[tex3]6=3.2[/tex3]
[tex3]5=5[/tex3]
[tex3]4=2.2[/tex3]
[tex3]2=2[/tex3]
contando vê-se que temos [tex3]9[/tex3] quantidades de [tex3]2[/tex3] e [tex3]2[/tex3] quantidades de [tex3]5[/tex3] .
uma maneira fácil de contar em números fatoriais é só vc pegar por exemplo o [tex3]10![/tex3] a saber a quantidade de [tex3]5's[/tex3] e dividir [tex3]\frac{10}{5}[/tex3] e ir dividindo até que não seja mais divisível.
Ex: [tex3]\frac{10}{5}=2[/tex3] agora vc pega o quociente e divide também, isso até que não dê mais, que é o caso pois [tex3]\frac{2}{5}=0[/tex3] . OBS.: nesse caso não utiliza-se números com vírgula, essa conotação costuma ser usada de função maior inteiro.
bom continuando:
temos que saber [tex3]\frac{11}{2^9.5^2}=\frac{11}{2^7.10^2}[/tex3] existe uma outra propriedade que diz que quando tem [tex3]10^n[/tex3] e um outro número que não forma dízima periódica dividindo um número(não divisível, ou seja, não múltiplo de ambos) é só você somar os expoentes.
logo teremos [tex3]2+7=9[/tex3] então a quantidade de algarismos antes da parte periódica da dízima é constituída de [tex3]9[/tex3] algarismos.
Espero que seja isso.
Primeiramente:
[tex3]\frac{11}{10!}=\frac{11}{10.9.8.7.6.5.4.3.2}[/tex3]
existe uma matéria(a qual não sei o nome) que pode ser encontrada no livro "Praticando a aritmética" que dá pra descobrir quantos algarismos inteiros essa divisão terá, porém isso é referente à quantidade de algarismos da dízima.
Por outro lado existem propriedades a saber:
os números [tex3]2[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]10[/tex3] nunca formam dízima periódica, para isso precisamos saber quantos [tex3]2's[/tex3] , [tex3]5's[/tex3] existem.
OBS.:[tex3]10=2.5[/tex3] por isso contando o [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3] não há necessidade de contar o [tex3]10[/tex3] .
[tex3]10=2.5[/tex3]
[tex3]9=3.3[/tex3]
[tex3]8=2.2.2[/tex3]
[tex3]7=7[/tex3] é primo.
[tex3]6=3.2[/tex3]
[tex3]5=5[/tex3]
[tex3]4=2.2[/tex3]
[tex3]2=2[/tex3]
contando vê-se que temos [tex3]9[/tex3] quantidades de [tex3]2[/tex3] e [tex3]2[/tex3] quantidades de [tex3]5[/tex3] .
uma maneira fácil de contar em números fatoriais é só vc pegar por exemplo o [tex3]10![/tex3] a saber a quantidade de [tex3]5's[/tex3] e dividir [tex3]\frac{10}{5}[/tex3] e ir dividindo até que não seja mais divisível.
Ex: [tex3]\frac{10}{5}=2[/tex3] agora vc pega o quociente e divide também, isso até que não dê mais, que é o caso pois [tex3]\frac{2}{5}=0[/tex3] . OBS.: nesse caso não utiliza-se números com vírgula, essa conotação costuma ser usada de função maior inteiro.
bom continuando:
temos que saber [tex3]\frac{11}{2^9.5^2}=\frac{11}{2^7.10^2}[/tex3] existe uma outra propriedade que diz que quando tem [tex3]10^n[/tex3] e um outro número que não forma dízima periódica dividindo um número(não divisível, ou seja, não múltiplo de ambos) é só você somar os expoentes.
logo teremos [tex3]2+7=9[/tex3] então a quantidade de algarismos antes da parte periódica da dízima é constituída de [tex3]9[/tex3] algarismos.
Espero que seja isso.
Última edição: lecko (Seg 12 Set, 2011 13:00). Total de 1 vez.
Set 2011
12
17:34
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
Coloquei no wolfram...
Período 18
Período 18
Set 2011
13
19:09
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
Então, o período tem [tex3]18[/tex3]
algarismos, porém ele quer saber quantos são os dígitos que não se repetem.
Exemplo: [tex3]0,53333..[/tex3] o período é [tex3]3[/tex3] ou seja, constituído por apenas um dígito(periódico), mas sabe-se que esse número possui uma parte não-periódica que é o dígito [tex3]5[/tex3] . Em resumo, ele quer saber quantos digítos são constituintes da parte não-periódica.
Show ?!
tem uma maneira de calcular a quantidade de dígitos do período, porém para esse número ficaria muito grande.
Por isso vou demonstrar como faz com um número relativamente pequeno:
Ex: saber a quantidade de dígitos do período de [tex3]\frac{1}{31}[/tex3] .
[tex3]\varphi(31)=30[/tex3] isso é a função totiente de Euler.
Feito isso pega-se o resultado da função e verifica-se seus divisores positivos:
[tex3]D_{30}= \{1;2;3;5;6;10;15;30 \}[/tex3]
agora temos que saber o teorema:
Seja a congruência [tex3]10^t \equiv 1 (modD)[/tex3] sendo [tex3]t[/tex3] a quantidade de algarismos da dízima.
A função totiente de euler é importante para nos orientar na hora de procurar números que servem à [tex3]t[/tex3] na condição acima.OBS.:[tex3]t[/tex3] deve ser o menor possível.
é só testar os valores:
[tex3]10^1 \equiv 10(mod31)[/tex3]
[tex3]10^2 \equiv 7(mod31)[/tex3]
[tex3]10^3 \equiv 8(mod31)[/tex3]
[tex3]10^5 \equiv 25(mod31)[/tex3]
[tex3]10^{10} \equiv 5(mod31)[/tex3]
[tex3]10^{15} \equiv 1 (mod31)[/tex3]
logo vê-se que a quantidade de algarismos do número na parte periódica é [tex3]15[/tex3] . De fato pois no Wolframalpha [tex3]\frac{1}{31} = 0,032258064516129...[/tex3]
Exemplo: [tex3]0,53333..[/tex3] o período é [tex3]3[/tex3] ou seja, constituído por apenas um dígito(periódico), mas sabe-se que esse número possui uma parte não-periódica que é o dígito [tex3]5[/tex3] . Em resumo, ele quer saber quantos digítos são constituintes da parte não-periódica.
Show ?!
tem uma maneira de calcular a quantidade de dígitos do período, porém para esse número ficaria muito grande.
Por isso vou demonstrar como faz com um número relativamente pequeno:
Ex: saber a quantidade de dígitos do período de [tex3]\frac{1}{31}[/tex3] .
[tex3]\varphi(31)=30[/tex3] isso é a função totiente de Euler.
Feito isso pega-se o resultado da função e verifica-se seus divisores positivos:
[tex3]D_{30}= \{1;2;3;5;6;10;15;30 \}[/tex3]
agora temos que saber o teorema:
Seja a congruência [tex3]10^t \equiv 1 (modD)[/tex3] sendo [tex3]t[/tex3] a quantidade de algarismos da dízima.
A função totiente de euler é importante para nos orientar na hora de procurar números que servem à [tex3]t[/tex3] na condição acima.OBS.:[tex3]t[/tex3] deve ser o menor possível.
é só testar os valores:
[tex3]10^1 \equiv 10(mod31)[/tex3]
[tex3]10^2 \equiv 7(mod31)[/tex3]
[tex3]10^3 \equiv 8(mod31)[/tex3]
[tex3]10^5 \equiv 25(mod31)[/tex3]
[tex3]10^{10} \equiv 5(mod31)[/tex3]
[tex3]10^{15} \equiv 1 (mod31)[/tex3]
logo vê-se que a quantidade de algarismos do número na parte periódica é [tex3]15[/tex3] . De fato pois no Wolframalpha [tex3]\frac{1}{31} = 0,032258064516129...[/tex3]
Última edição: lecko (Ter 13 Set, 2011 19:09). Total de 1 vez.
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Abr 2019
20
12:03
Re: Conjuntos Numéricos: Expansão Decimal e Fatoriais
Basta olhar para o expoente do fator primo 2 no denominador (10!). No caso, 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = m.2^8, logo a resposta é 8.
Prova real:
11/10! = 0,00000303(130511463844797178)
Dentro do parênteses fica o período basta contar quantos dígitos estão entre a vírgula e o começo do período.
00000303 - > 8 dígitos!!!
Prova real:
11/10! = 0,00000303(130511463844797178)
Dentro do parênteses fica o período basta contar quantos dígitos estão entre a vírgula e o começo do período.
00000303 - > 8 dígitos!!!
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