Olimpíadas(OBM - 2018) Probabilidade

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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(OBM - 2018) Probabilidade

Mensagem não lida por Hanon » Ter 12 Mar, 2019 14:17

Um número real [tex3]a[/tex3] é escolhido de forma aleatória e uniforme no intervalo [tex3][-3,4][/tex3] qual é a Probabilidade de todas as raízes do polinômio [tex3]x^3+ax^2+bx+1[/tex3] sejam reais?
a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Última edição: Hanon (Ter 12 Mar, 2019 14:18). Total de 1 vez.



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MateusQqMD
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Re: (OBM - 2018) Probabilidade

Mensagem não lida por MateusQqMD » Ter 12 Mar, 2019 14:55

Seja [tex3]f(X) = X^3 + 1 +\alpha X(X + 1)[/tex3] , podemos fatorar [tex3]f(X)[/tex3] em [tex3](X+1)(X^2 +(-1 + \alpha) X + 1)[/tex3]

Como queremos que as raízes sejam reais, é suficiente que as raízes de [tex3]X^2 +(-1 + \alpha) X + 1[/tex3] sejam reais. O discriminante vale [tex3](-1 + \alpha)^2 - 4 = \alpha^2 -2\alpha -3[/tex3] . Daí, [tex3]\alpha \geq 3[/tex3] ou [tex3]\alpha \leq -1[/tex3] . Como os intervalos possuem iguais quantidades de números, acredito que a resposta é [tex3]\frac{3}{7}[/tex3]

Foi usado que [tex3]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab + b^2)[/tex3]



~I.H

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Re: (OBM - 2018) Probabilidade

Mensagem não lida por Ittalo25 » Ter 12 Mar, 2019 17:39

Essa questão é de nível superior, envolve variáveis aleatórias.

Ainda não estudei esse assunto, mas caso ajude, neste site tem um exemplo com uma equação do segundo grau no Exemplo 6.1.2: Exemplo 6.1.2 - Distribuição uniforme
Última edição: Ittalo25 (Ter 12 Mar, 2019 17:40). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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Re: (OBM - 2018) Probabilidade

Mensagem não lida por MateusQqMD » Ter 12 Mar, 2019 21:13

Não entendi, minha resolução não vale? Eu tinha visto que é da OBM universitária porque tem um [tex3]b[/tex3] solto ali no enunciado. Pensei em trabalhar com intervalos e ver o que eles representavam do total.
Probabilidade.png
Probabilidade.png (3.83 KiB) Exibido 147 vezes
Eu já tinha visto isso para duas dimensões e não vi problemas em usar para esse enunciado.


~I.H

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Re: (OBM - 2018) Probabilidade

Mensagem não lida por MateusQqMD » Ter 12 Mar, 2019 21:15

ah, sim, eu também nunca estuei essa parte, por isso não ataquei dessa forma mostrada pelo Ittalo25



~I.H

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