Olimpíadas ⇒ Poti - Equacões diofantinas quadráticas Tópico resolvido
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Fev 2019
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17:56
Poti - Equacões diofantinas quadráticas
Ache todas as soluções de [tex3]x^2+y^2=5z^2[/tex3]
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Fev 2019
14
11:21
Re: Poti - Equacões diofantinas quadráticas
Observe
Solução:
Usando o método geométrico temos que:
x² + y² = 5z² ⟺ [tex3]\left(\frac{x}{z}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2=5[/tex3]
Desejamos encontrar pontos racionais na circunferência x² + y² = 5. Temos o seguinte ponto ( - 1 , - 2 ) e podemos tomar então a reta de inclinação [tex3]\frac{m}{n}[/tex3] que passa por ( - 1 , - 2 ) e [tex3]\left(\frac{x}{z},\frac{y}{z}\right)[/tex3] . Daí;
[tex3]y-(-2)=\frac{m}{n}[x-(-1)][/tex3] ⟺
[tex3]y=\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n}[/tex3] . ( A )
Agora, precisamos determinar o seguinte sistema de equações:
[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=5 \ ( I ) \\
y=\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n} \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ), vem ;
[tex3]x^2+\left(\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n}\right)^2=5[/tex3] ⟺
[tex3]\left(\frac{m^2+n^2}{n^2}\right)x^2+\left(\frac{2m(m-2n)}{n^2}\right)x+\frac{m^2-4mn-n^2}{n^2}=0[/tex3] ⟺
[tex3]x^2+\left(\frac{2m(m-2n)}{m^2+n^2}\right)x+\frac{m^2-4mn-n^2}{m^2+n^2}=0[/tex3]
Da equação acima vemos que uma das soluções é [tex3]x_{1}[/tex3] = - 1 e a outra pode ser determinada por soma e produto das raízes, resulta;
[tex3]\frac{x}{z}=x_{2}=\frac{n^2+4mn-m^2}{m^2+n^2}[/tex3] ( B )
Substituindo ( B ) em ( A ) , encontraremos [tex3]y_{2}=\frac{y}{z}[/tex3] correspondente, fica;
[tex3]\frac{y}{z}=y_{2}=\frac{m}{n}\left(\frac{n^2+4mn-m^2}{m^2+n^2}\right)+\frac{m-2n}{n}[/tex3] ⟺
[tex3]\frac{y}{z}=\frac{2m^2+2mn-2n^2}{m^2+n^2}[/tex3]
Portanto, as soluções da equação dada são da forma:
x = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( n² + 4mn - m² ) , y = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( 2m² + 2mn - 2n² ) e z = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( m² + n² )
Onde , d = mdc( n² + 4mn - m² , 2m² + 2mn - 2n² , m² + n² ).
Nota
Omiti algumas partes do desenvolvimento das soluções das equações, para não ficar muito longa a resposta, porém, basta seguir o meu raciocínio que você irá compreender
Bons estudos!
Solução:
Usando o método geométrico temos que:
x² + y² = 5z² ⟺ [tex3]\left(\frac{x}{z}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2=5[/tex3]
Desejamos encontrar pontos racionais na circunferência x² + y² = 5. Temos o seguinte ponto ( - 1 , - 2 ) e podemos tomar então a reta de inclinação [tex3]\frac{m}{n}[/tex3] que passa por ( - 1 , - 2 ) e [tex3]\left(\frac{x}{z},\frac{y}{z}\right)[/tex3] . Daí;
[tex3]y-(-2)=\frac{m}{n}[x-(-1)][/tex3] ⟺
[tex3]y=\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n}[/tex3] . ( A )
Agora, precisamos determinar o seguinte sistema de equações:
[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2=5 \ ( I ) \\
y=\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n} \ (II)
\end{cases}[/tex3]
Substituindo ( I I ) em ( I ), vem ;
[tex3]x^2+\left(\frac{m}{n}x+\frac{m-2n}{n}\right)^2=5[/tex3] ⟺
[tex3]\left(\frac{m^2+n^2}{n^2}\right)x^2+\left(\frac{2m(m-2n)}{n^2}\right)x+\frac{m^2-4mn-n^2}{n^2}=0[/tex3] ⟺
[tex3]x^2+\left(\frac{2m(m-2n)}{m^2+n^2}\right)x+\frac{m^2-4mn-n^2}{m^2+n^2}=0[/tex3]
Da equação acima vemos que uma das soluções é [tex3]x_{1}[/tex3] = - 1 e a outra pode ser determinada por soma e produto das raízes, resulta;
[tex3]\frac{x}{z}=x_{2}=\frac{n^2+4mn-m^2}{m^2+n^2}[/tex3] ( B )
Substituindo ( B ) em ( A ) , encontraremos [tex3]y_{2}=\frac{y}{z}[/tex3] correspondente, fica;
[tex3]\frac{y}{z}=y_{2}=\frac{m}{n}\left(\frac{n^2+4mn-m^2}{m^2+n^2}\right)+\frac{m-2n}{n}[/tex3] ⟺
[tex3]\frac{y}{z}=\frac{2m^2+2mn-2n^2}{m^2+n^2}[/tex3]
Portanto, as soluções da equação dada são da forma:
x = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( n² + 4mn - m² ) , y = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( 2m² + 2mn - 2n² ) e z = [tex3]\frac{k}{d}[/tex3] ( m² + n² )
Onde , d = mdc( n² + 4mn - m² , 2m² + 2mn - 2n² , m² + n² ).
Nota
Omiti algumas partes do desenvolvimento das soluções das equações, para não ficar muito longa a resposta, porém, basta seguir o meu raciocínio que você irá compreender
Bons estudos!
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Fev 2019
14
13:29
Re: Poti - Equacões diofantinas quadráticas
Qual seria a especificação para solucões inteiras?
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Fev 2019
14
19:36
Re: Poti - Equacões diofantinas quadráticas
Olá!
Amigo , todas as soluções inteiras estão incluídas na solução postada acima
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Fev 2019
14
23:20
Re: Poti - Equacões diofantinas quadráticas
tem um vídeo muito bom no youtube sobre como encontrar pontos racionais (inteiros) em uma circunferência, apesar de estar em inglês https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY
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