OlimpíadasSeleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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sousóeu
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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por sousóeu » Qua 09 Jan, 2019 21:56

sendo o z uma variável nova o [tex3]m[/tex3] poderia não ser [tex3]4[/tex3] aqui
GabrielOBM escreveu:
Qua 09 Jan, 2019 16:26
Mas neste caso[tex3]m=\sqrt{2}^4,n=\sqrt{2}^2=>m=4,n=2, mn=8[/tex3] temos então uma contradição, pois encontramos[tex3]mn=x^2[/tex3]
acho que a sua prova está errada. Vou explicar melhor a minha pra você entender o raciocínio:

da fatoração
[tex3]m-n =(\sqrt m -\sqrt n)(\sqrt m + \sqrt n)[/tex3]

chegamos a conclusão que
[tex3]\sqrt m + \sqrt n = \frac{m-n}{\sqrt m -\sqrt n} = \frac{m-n}p[/tex3]

mas como [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros então é claro que [tex3]\frac{m-n}p[/tex3] é um número racional!

vou chamar esse número de [tex3]q[/tex3] pra poupar notação, não me interessa o valor de [tex3]q[/tex3] apenas que ele é racional:
[tex3]q = \frac{m-n}p[/tex3]

então temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt m - \sqrt n=p \\
\sqrt m + \sqrt n=q
\end{cases}[/tex3]

somando as equações: [tex3]2\sqrt m = p + q[/tex3]
note que não me interessa o valor, mas sim que temos um número racional do lado direito:
[tex3]\sqrt m = \frac{p+q}2[/tex3]

como nós provamos ali em cima, se [tex3]\sqrt m[/tex3] é racional então [tex3]m[/tex3] é quadrado perfeito!

Editado pela última vez por sousóeu em Qua 09 Jan, 2019 21:57, em um total de 1 vez.



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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM » Qua 09 Jan, 2019 22:31

Poxa, bem melhor q a minha. E corrta, boa!!




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Re: Seleçao ConeSul Brasil - Álgebra/Teoria dos Números

Mensagem não lida por GabrielOBM » Qua 09 Jan, 2019 22:32

Ah, e m foi igual a 4, pois considerei k=2, z=1.y=raiz de 2




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