Olimpíadas ⇒ Geometria - Reta de Simson Tópico resolvido

[GustavoSG]

Sejam A, B, C, P, Q pontos sobre um círculo. Mostre que o ângulo formado entre as retas de Simson de P e Q em relação ao triângulo ABC é igual a metade do arco PQ.

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vou mostrar pro caso a seguir, mas verificar pras outra posições de [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

e [tex3]Q[/tex3]

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[tex3]Q[/tex3]

é um trabalho muito análogo.

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repare que os quadriláteros [tex3]BQHG[/tex3]

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[tex3]BQHG[/tex3]

e [tex3]PCED[/tex3]

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[tex3]PCED[/tex3]

são inscritíveis (cíclicos)
pois [tex3]\angle QHB = \angle QGB[/tex3]

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[tex3]\angle QHB = \angle QGB[/tex3]

e [tex3]\angle PDC = \angle PEC[/tex3]

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[tex3]\angle PDC = \angle PEC[/tex3]

dai vem que [tex3]\angle QGF = \angle QGH = \angle QBH = \angle QBA \implies \angle FGE = 90-\angle QBA = 90 - \frac{\widehat {AQ} }2[/tex3]

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[tex3]\angle QGF = \angle QGH = \angle QBH = \angle QBA \implies \angle FGE = 90-\angle QBA = 90 - \frac{\widehat {AQ} }2[/tex3]

analogamente [tex3]\angle FEG = 90 - \angle PCA = 90 -\frac{\widehat{AP}}2[/tex3]

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[tex3]\angle FEG = 90 - \angle PCA = 90 -\frac{\widehat{AP}}2[/tex3]

portanto [tex3]\angle GFE = \frac{\widehat{AP} + \widehat{AQ}}2 = \frac{\widehat{PQ}}2[/tex3]

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[tex3]\angle GFE = \frac{\widehat{AP} + \widehat{AQ}}2 = \frac{\widehat{PQ}}2[/tex3]