OlimpíadasEquação

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Dez 2018 04 14:17

Equação

Mensagem não lida por Hanon » Ter 04 Dez, 2018 14:17

Encontre todas as soluções reais para a equação:
[tex3]2^x+3^x+6^x=x^2[/tex3]
Resposta

[tex3]S=\{-1\}[/tex3]




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Dez 2018 08 10:49

Re: Equação

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Sáb 08 Dez, 2018 10:49

Hanon, eae! blz? Mano, acho que um meio viável para este tipo de equação, que eu não tenho ideia de como resolver algebricamente falando, seria fazer:

[tex3]x^2\:-\:\(2^x\:+\:3^x\:+\: 6^x \)\:=\:0[/tex3] . Se o lado direito dessa equação for tomado como uma função f(x), fazer f(x)= 0 é nada mais do que encontrar suas raízes, certo? Então bora fazer o gráfico de f(x), a partir de uma tabela com valores quaisquer para x resultando em y; sugiro ir chutando de números negativos para números positivos; o objetivo é apenas notar alguma tendência. Perceba que não se formará gráfico com assíndotas horizontais ou verticais, como nas funções racionais, uma vez que se trata de uma função f(x) com domínio para todos os reais e contradomínio tbm para todos os reais (não que isso seja uma regra, mas aqui se aplica.. mais embaixo te mostro a partir de limites o que quero te dizer).

__x__ |__ y __
_ -4___|__15.92
_ -3___|__8.33
_ -2___|__3.61
_ 0____|__-3___
__ 1___|__-10
_ 2____|__-45
_ 3____|__-242

Perceba que quando coloquei alguns valores negativos, y deu valores positivos... e dps começaram valores de y negativos.. Logo, há alguma intersecção da função no eixo "x", percebe? Há uma raiz dentre esses valores; o teorema que garante isso é o Teorema de Bolzano: Se no intervalo [a ; b], [tex3]f(a)\cdot f(b)\:<0 \Rightarrow\:\exists \:[/tex3] um número ímpar de raízes reais neste intervalo. Observe que no intervalo [-2 ; 0] ocorre f(-2)f(0)<0; há uma raiz entre esses números. Afinal, o sinal dos valores é diferente! Isso é um pouco intuitivo, eu acho.

Chutando o valor de -1, visto que [tex3]-1\:\in \:[-2\:;\:0][/tex3] , ocorre que f(-1) = 0. Portanto, x = -1 é uma raiz dessa função, e tbm é uma solução ao problema inicial. Para verificar se não há mais raízes, basta estudar a tendência do comportamento de f(x) para valores exorbitantes:

[tex3]\begin{cases}
\lim_{x \rightarrow +\infty}\;f(x)\:\:\Rightarrow\;\;f(x)\rightarrow -\infty \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\;f(x)\:\:\Rightarrow\;\;f(x)\rightarrow+\infty
\end{cases}[/tex3]

Perceba, dessa forma, que a tendência de f(x) pra valores menores do que -1 é de valores sempre positivos, enquanto para valores maiores do que -1, f(x) apenas fornece valores negativo.

R.: [tex3]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;S\:=\:\{-1\}[/tex3]
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Espero que ajude!!

Editado pela última vez por AlguémMeHelp em Sáb 08 Dez, 2018 13:31, em um total de 3 vezes.



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Dez 2018 08 21:57

Re: Equação

Mensagem não lida por erihh3 » Sáb 08 Dez, 2018 21:57

O ideal para essa questão seria que perguntassem o número de soluções.

Eu vou mostrar a seguir um jeito alternativo de fazer.

Seja [tex3]f(x)=2^x+3^x+6^x[/tex3] e [tex3]g(x)=x^2[/tex3]

Sabemos que [tex3]2^x[/tex3] ,[tex3]3^x[/tex3] e [tex3]6^x[/tex3] , são funções estritamente crescentes para [tex3]\forall x\in\mathbb{R}[/tex3] . Com isso, f(x) também será.

Além disso, sabemos que g(x) é estritamente crescente para [tex3]x\geq0[/tex3] e estritamente decrescente para [tex3]x<0[/tex3] .

Separando em dois casos: [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]x\geq0[/tex3]

Caso 1: x<0
f(x) crescente e g(x) decrescente.

Como f(x) é crescente. a imagem varia de 0 quando [tex3]x\to-\infty[/tex3] até 3 quando [tex3]x\to0[/tex3] . Ou seja, [tex3]Im(f)=[0;3][/tex3]
A análise com g(x) é semelhante e encontra-se que [tex3]Im(g)=(-\infty;0][/tex3] .

Isso junto ao fato de ambas serem contínuas nesse intervalo, podemos afirmar que elas terão pelo menos uma interseção (solução).

Demonstrando que só existirá uma solução:

Seja x=c uma solução. Com isso, [tex3]f(c)=g(c)[/tex3]

Vamos supor que exita uma outra solução d>c para o problema. Daí, tem-se:

[tex3]f(d)=g(d)[/tex3]

No entanto, como [tex3]d>c[/tex3] e f(x) é crescente, [tex3]f(d)>f(c)[/tex3] . Além disso, como g(x) é decrescente, [tex3]g(d)<g(c)[/tex3] .

Como vimos que [tex3]f(x)=g(c)[/tex3] , teremos [tex3]g(d)<f(c)[/tex3] .

Com isso,

[tex3]f(d)>f(c)>g(d)\Rightarrow f(d)>g(d)[/tex3]

Portanto, [tex3]f(d)\neq g(d)[/tex3] . Isso mostra que é absurdo existir uma solução que seja maior que c.

Analogamente, para um valor menor que c, concluiriamos que não pode existir uma solução menor que c.

Portanto, c é solução única.

Deste modo, para [tex3]x<0[/tex3] existe uma única solução, que no caso, é x=c=-1.


Caso 2: [tex3]x\geq0[/tex3]

Esse caso é mais tranquilo. A dica é trocar a variável de x para t e usar as funções f e g como sendo funções de posição para fazer analogias com posição, velocidade e aceleração da física.

Nessa linha, você chegará que f sempre será maior que g pois a posição inicial é maior e tanto a velocidade quanto a aceleração da partícula que obedece isso também serão maiores. Com isso, a partícula que obedece f nunca encontrará g e muito menos a ultrapassará.


Caso queira, eu faço essa parte pra você também, mas é um bom exercicio para você tentar caso ainda não tenha visto ainda.
Editado pela última vez por erihh3 em Sáb 08 Dez, 2018 21:58, em um total de 1 vez.


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Re: Equação

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Sáb 08 Dez, 2018 23:01

erihh3, entendi sua perspectiva, é bem intuitiva tbm, foi como eu pensei em fazer inicialmente; é quase que redundante face à minha xD :
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De qualquer forma o que vc está fazendo é estudar ambas as funções; eu apenas resumi em uma. Não que haja alguma vantagem isso, óbvio, são perspectivas ligeiramente distintas; cabe ao leitor prosseguir pelo que lhe convir. Tmj, djoww!



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Re: Equação

Mensagem não lida por erihh3 » Sáb 08 Dez, 2018 23:14

Eu tentei só acrescentar uma solução diferente. É que quando eu li, a minha ideia foi essa mesmo.
Eu coloquei essa solução supondo que ele não pudesse usar calculadora durante a questão na prova.
Aí escrevi ela analisando apenas o comportamento da função ao invés de montar um gráfico ou atribuir valores.


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Re: Equação

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Sáb 08 Dez, 2018 23:20

erihh3, mano, sinceramente dá pra encontrar esses valores sem calculadora, calculei de cabeça, e aproximei. Cê não acha ñ, na boa? só ir na manha kkkkk o examinador não cobraria acerca da precisão nas contas, afinal, não é o que solicitaram. Mas, enfim, obrigado por enriquecer a discussão! :)
Editado pela última vez por AlguémMeHelp em Dom 09 Dez, 2018 01:12, em um total de 1 vez.



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Re: Equação

Mensagem não lida por erihh3 » Dom 09 Dez, 2018 00:25

Eu só coloquei a solução que eu faria na prova. Acho que essas contas seriam difíceis na hora da prova.
Difícil fazer [tex3]2^{-4}+3^{-4}+6^{-4}-16[/tex3] de cabeça. E isso foi apenas um ponto. E se a resposta fosse -7, por exemplo?
Os maiores problemas eu acredito que sejam encontrar uma faixa de valores e fazer contas difíceis sem ao menos saber se a resposta vai estar no intervalo escolhido.
Além disso, mesmo achando uma raiz no intervalo estudado, não dá para garantir que ela é a única. Poderiam haver outras soluções fora do intervalo. Quando eu pararia de testar valores para garantir a resposta?


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Re: Equação

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Dom 09 Dez, 2018 00:52

bora lá, amigo: o que vc propôs basicamente foi chutar o número -1, já que provou que só há um possível valor para x<0 .... perai, Pera aí, que facilidade de conta foi essa para encontrar exatamente o -1 dentre uma infinidade de possibilidades???? plotar um gráfico com ctz te fez visualizar que era -1; vc com ctz pensou um gráfico do tipo f(x) = 2^x + 3^x + 6^x (se vc plotou um grafico mentalmente, tal como admitiu anteriormente q era a ideia, logo vc tá usando o que eu propus lkkk não entendi vc querer buscar uma dificuldade na minha resolução ).... não necessariamente teria de fazer f(-4) , já que achou essa conta tão difícil assim kkk caso o valor fosse -7 , como sugeriu, seria tão intuitivo pensar com o que vc propôs??? pensa aí: minha resolução foi de certa forma precisa a ponto de predeterminar o intervalo no qual se encontrava a raiz: [-2; 0], utilizando o teorema de Bolzano. Bora lá: o que propus foi estudar a tendência do gráfico, pelamor kkk era pra ter noção de onde cortava o eixo das abscisas, isso é difícil? eu faço direto quando estudo diversas funções, inclusive as racionais e exponenciais. Vc não? é questão de prática, garanto. Não levei 2 minutos.

Quanto ao "quando pararia de testar valores".. mano, foi exatamente por isso que eu utilizei a ferramente de limite, estudando se haveria possibilidade de a função voltar a cortar o eixo x. Claro que isso tbm exige certo conhecimeno prático de quem está fazendo esse estudo da tendência da função dada. Enfim, achei um pouco imprecisa sua colocação.

xô fzer a conta rapidão:

16 - (0.0625 + 1/81 + 1/1296) \approx 16 - (0.06 + 0.01 + 0.0007) = 16 - (0.07) = 15 e uns quebrados..... como falei, o objetivo não é precisão, é apenas ter noção do valor inteiro!!!! compreende...? afinal, é para agilizar a conta em busca do objetivo principla: estudar a tendência do gráfico.

erihh3
Editado pela última vez por AlguémMeHelp em Dom 09 Dez, 2018 01:15, em um total de 4 vezes.



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Re: Equação

Mensagem não lida por AlguémMeHelp » Dom 09 Dez, 2018 01:20

Hanon, na hora da prova, óbvio q vc n vai expor ao examinador as contas agilizadas e aproximadas, faz no rascunho, desenvolve sua ideia acerca da função desconhecida, vc precisa dominá-la, de certa forma, conhecer, até certo ponto, suas nuances... garanto que te ajudará a compreender a questão com êxito. Quando passar a limpo, seleciona os valores com resultado mais bonitinho , fáceis de calcular pra não perder tempo.



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Re: Equação

Mensagem não lida por erihh3 » Dom 09 Dez, 2018 02:52

Po, amigo. Eu não disse em momento algum que plotei gráfico mentalmente.

1)A primeira coisa que eu disse antes de começar a resolução era que faria mais sentido se a pergunta fosse o número de soluções da equação. Eu iria chutar 0, -1 e -2 (assim como em um polinomio). Por sorte, -1 foi solução. Se fosse diferente disso, eu iria deixar pra depois em uma prova, mas eu poderia afirmar que só existe uma (mesmo que fosse -100). A parte mais difícil é provar que existe uma única solução.


2) O estudo que você fez dos limites só mostrou que a função que você estudou não é limitada. Vou te dar um contra exemplo com um polinomio: [tex3](x+1.5)(x+1)(x+0.5)[/tex3] . Pode fazer o limite quando [tex3]x\to \infty[/tex3] que você verá que dará [tex3]\infty[/tex3] e dará [tex3]-\infty[/tex3] quando tende a [tex3]-\infty[/tex3] . Mesmo assim, a função tem 3 raízes e não apenas uma. Esse foi o seu argumento pra provar que a solução era única e eu estou mostrando que não é valido por meio de um contra exemplo.

Com isso, você não garante nem que não existam raizes fora do intervalo como também não garante que exista apenas uma raiz dentro do intervalo que você estudou.

O ponto que eu quero chegar é que a sua solução só faz algum sentido porque você usou a calculadora pra montar uma tabela e um software para plotar o gráfico. Algo que não esta disponível em nenhum tipo de prova.

De qualquer modo, pode ser que alguém consiga fazer uma solução que já ache de cara o -1 como solução única sem precisar chutar algum valor pra encontra-lo (que seria o ideal pela pergunta da questão).



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