A diferença entre o maior e o menor valores possíveis do produto dos dois números é:
a. 10062
b. 10052
c. 1005.1007
d. 1005.1006
e. 1006.1007
Resposta
B
Olimpíadas ⇒ (OBM 2012) Função do 2º grau Tópico resolvido
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danimedrado 
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Set 2018
17
08:53
(OBM 2012) Função do 2º grau
A soma de dois inteiros positivos é 2012.
A diferença entre o maior e o menor valores possíveis do produto dos dois números é:
a. 10062
b. 10052
c. 1005.1007
d. 1005.1006
e. 1006.1007
B
A diferença entre o maior e o menor valores possíveis do produto dos dois números é:
a. 10062
b. 10052
c. 1005.1007
d. 1005.1006
e. 1006.1007
B
Set 2018
18
16:37
Re: (OBM 2012) Função do 2º grau
Sejam x e y inteiros positivos tal que
[tex3]x+y=2012[/tex3]
e seja [tex3]f(x,y)=x\cdot y[/tex3]
Com isso,
[tex3]y=2012-x[/tex3]
Então,
[tex3]f(x)=x\cdot (2012-x)=2012\cdot x-x^2[/tex3]
Daí, o valor max de f(x) é:
[tex3]y_v=-\frac{\Delta}{4.a}=1006^2[/tex3]
Para o mínimo, basta ver que a função, por ser uma parábola, é crescente até o seu vértice e depois é simétrica em relação a reta que passa pelo seu vértice e é paralela ao eixo das ordenadas. Os valores mínimos, portanto, estaram nas extremidades uma vez que eles são inteiros positivos, eles não podem ser 0. Então o valor será o mais próximo disso que é:
[tex3]x=2011[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]
ou
[tex3]y=2011[/tex3] e [tex3]x=1[/tex3]
Daí, o valor mínimo é [tex3]f(x)=2011[/tex3]
Portanto,
[tex3]f_{max}-f_{min}=1006^2-2011=1006^2-2\cdot 1\cdot 1006+1=1005^2[/tex3]
[tex3]x+y=2012[/tex3]
e seja [tex3]f(x,y)=x\cdot y[/tex3]
Com isso,
[tex3]y=2012-x[/tex3]
Então,
[tex3]f(x)=x\cdot (2012-x)=2012\cdot x-x^2[/tex3]
Daí, o valor max de f(x) é:
[tex3]y_v=-\frac{\Delta}{4.a}=1006^2[/tex3]
Para o mínimo, basta ver que a função, por ser uma parábola, é crescente até o seu vértice e depois é simétrica em relação a reta que passa pelo seu vértice e é paralela ao eixo das ordenadas. Os valores mínimos, portanto, estaram nas extremidades uma vez que eles são inteiros positivos, eles não podem ser 0. Então o valor será o mais próximo disso que é:
[tex3]x=2011[/tex3] e [tex3]y=1[/tex3]
ou
[tex3]y=2011[/tex3] e [tex3]x=1[/tex3]
Daí, o valor mínimo é [tex3]f(x)=2011[/tex3]
Portanto,
[tex3]f_{max}-f_{min}=1006^2-2011=1006^2-2\cdot 1\cdot 1006+1=1005^2[/tex3]
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danimedrado
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Set 2018
20
13:43
Re: (OBM 2012) Função do 2º grau
erihh3, você poderia me explicar melhor como desenvolveu a conta do Yv?
Set 2018
20
14:26
Re: (OBM 2012) Função do 2º grau
O [tex3]y_v[/tex3]
é a altura em que está o vértice de uma parábola, que, no caso, é o valor máximo de f(x).
Eu joguei a fórmula direto onde [tex3]\Delta=b^2-4.a.c[/tex3] , sendo eles os coeficientes de um polinômio do segundo grau.
No caso,
[tex3]y_v=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{2012^2-4.(-1).0}{4.(-1)}=\frac{2012^2}{4}=\left(\frac{2012}{2}\right)^2=1006^2[/tex3]
Você quer que eu demonstre a fórmula do [tex3]y_v[/tex3] ?
Eu joguei a fórmula direto onde [tex3]\Delta=b^2-4.a.c[/tex3] , sendo eles os coeficientes de um polinômio do segundo grau.
No caso,
[tex3]y_v=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{2012^2-4.(-1).0}{4.(-1)}=\frac{2012^2}{4}=\left(\frac{2012}{2}\right)^2=1006^2[/tex3]
Você quer que eu demonstre a fórmula do [tex3]y_v[/tex3] ?
Última edição: erihh3 (Qui 20 Set, 2018 14:27). Total de 1 vez.
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