OlimpíadasObm-geometria Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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boruto47
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Jul 2018 18 13:36

Obm-geometria

Mensagem não lida por boruto47 »

No triangulo ABC, D ´e ponto medio de AB e E ponto sobre o lado
BC tal que BE = 2 · EC. Sabendo que ∠ADC = ∠BAE, calcule o valor de ∠BAC




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Cardoso1979
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Jul 2018 26 20:06

Re: Obm-geometria

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução

Por construção, traçaremos as cevianas [tex3]\overline{AE}[/tex3] e [tex3]\overline{CD}[/tex3] e seja o ponto P de interseção desses segmentos. Seja α um ângulo tal que α = ∠ADC = ∠BAE ⇔ α = ∠ADP = ∠DAP. Como α = ∠ADP = ∠DAP, então o triângulo ∆ADP é isósceles com [tex3]\overline{AP} ≡ \overline{DP} [/tex3] .
Aplicando o Teorema de Menelaus , ao triângulo ∆ BCD , uma vez que os pontos A , P e E são colineares, obtemos:

[tex3]\frac{EB}{EC}.\frac{PC}{PD}.\frac{AD}{AB}=1 ⇒\frac{2}{1}.\frac{CP}{DP}.\frac{1}{2}=1 [/tex3] ⇒CP = DP, e , consequentemente, AP = CP. Agora seja α = ∠DAP = ∠ADP e β = ∠CAP = ∠ACP. Observe que no triângulo ∆ACD a soma dos ângulos internos será :

( α + β ) + β + α = 180° ⇒

2α + 2β = 180° ⇒ α + β = 90°

Como ∠BAC = α + β , teremos ∠BAC = 90°.

Figura:
15326460254891947343857.jpg
15326460254891947343857.jpg (43.93 KiB) Exibido 2934 vezes


Bons estudos!




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