é meio que isso mesmo que você viu, mas dá pra formalizar as coisas.
Faça [tex3]x=y= \frac{z}2[/tex3]
:
[tex3]f(\frac z2 + \frac z2 ) = f(\frac z2) \cdot f (\frac z2) \iff f(z) = [f(\frac z2)]^2 \geq 0[/tex3]
Então, como todo número real [tex3]z[/tex3]
admite um [tex3]\frac z2[/tex3]
, temos que [tex3]f(z) \geq 0[/tex3]
pra todo [tex3]z[/tex3]
real.
Se existe algum número [tex3]a \in \mathbb R[/tex3]
tal que [tex3]f(a) = 0[/tex3]
, então [tex3]f(x+a) = f(x) \cdot f(a) = f(x) \cdot 0 = 0[/tex3]
pra qualquer [tex3]x[/tex3]
, mas veja que a medida que [tex3]x[/tex3]
percorre [tex3]\mathbb R[/tex3]
, [tex3]x+a[/tex3]
também percorre [tex3]\mathbb R[/tex3]
; logo [tex3]f(x) = 0[/tex3]
pra todo [tex3]x[/tex3]
se existir algum número real tal que [tex3]f(a) =0[/tex3]
.
Como [tex3]f(1) = 8 \neq 0[/tex3]
, então nos sobra que [tex3]f(x) > 0[/tex3]
pra todo [tex3]x[/tex3]
real.
Sendo assim, podemos tirar um logaritmo dos dois lados da equação:
[tex3]\log (f(x+y)) = \log (f(x) \cdot f(y)) = \log (f(x)) + \log ( f(y))[/tex3]
.
Vamos definir [tex3]g(z) = \log (f(z))[/tex3]
pra todo [tex3]z[/tex3]
real. Logo:
[tex3]g(x+y) = g(x) + g(y)[/tex3]
pra todos [tex3]x,y[/tex3]
reais.
Olha que maravilha! Você caiu na
Equação Funcional de Cauchy. Se você clicar no link em azul (tem uma errata no final que é melhor você ler antes de ler o começo), você verá a prova de que [tex3]g(x) = g(1) \cdot x[/tex3]
para todo [tex3]x[/tex3]
racional (que é o que o enunciado pede), então, [tex3]f(x) = 10^{g(1) \cdot x}[/tex3]
.
Por propriedades do logaritmo, você pode dizer que [tex3]f(x) = 8^x[/tex3]
pra todo [tex3]x[/tex3]
racional que nem você adivinhou. Então você estava certo.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
