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Resposta
5
IME / ITA ⇒ (Simulado-Ime/Ita) Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2021
10
10:12
(Simulado-Ime/Ita) Equação
Duas raízes do polinômio inteiro em x e de grau minimo, F(x)=[tex3]x^{n}[/tex3]
+p [tex3]x^{n-1}[/tex3]
+q [tex3]x^{n-2}[/tex3]
+...+K são [tex3]\sqrt[3]{3}[/tex3]
e [tex3]\sqrt{1+\sqrt{3}}[/tex3]
.Valor de A=p+q+...+K.
a)1
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LostWalker 
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Set 2022
01
01:27
Re: (Simulado-Ime/Ita) Equação
Polinômios Inteiros
Não vamos nos preocupar com o grau mínimo. Criaremos já no mesmo. A questão que fica aqui é sobre o polinômio inteiro. Isso significa que os coeficientes do polinômio são inteiros. Como as raízes dadas são irracionais, precisamos multiplicar por outros termos irracionais até que resultem em coeficientes racionais.
Faremos assim, separadamente, iremos multiplicar as raízes até que resultem só em termos racionais. Só havendo coeficientes racionais, o produto irá sempre resultar em outros coeficientes racionais.
Manipulando a Primeira Raiz
Como a primeira raiz é [tex3]\sqrt[3]3[/tex3] , na forma fatorada, o termo será:
[tex3]\(x-\sqrt[3]3\)[/tex3]
De forma direta, o que queremos é elevar esse termo ao cubo, fazendo com que se resulte em [tex3]3[/tex3] . Demorou um pouco para eu me recordar, mas, nos baseando em fatoração, podemos nos recordar que:
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b)[/tex3]
Veja que, desse modo, podemos tomar [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=\sqrt[3]3[/tex3] , então podemos multiplicar a raiz que temos para chegamos em termos racionais:
[tex3]\(x-\sqrt[3]3\)\\\(x-\sqrt[3]3\){\color{PineGreen}\(x^2+x\sqrt[3]3+\sqrt[3]3\)}\\x^3-\(\sqrt[3]3\)^3[/tex3]
[tex3]\boxed{\[x^3-3\]}[/tex3]
Agora, apenas temos termos racionais, logo, não iremos nos preocupar com o surgimento de coeficientes irracionais por conta dessa raiz
Manipulando a Segunda Raiz
Para a segunda raiz, mostrada abaixo:
[tex3]\(x-\sqrt{1-\sqrt3}\)[/tex3]
Para tratar esses, iremos utilizar uma fatoração bem conhecida:
[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
Assim, podemos nos livrar da primeira raiz usando [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=\sqrt{1-\sqrt3}[/tex3] , o que nos leva a
[tex3]\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\\\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\){\color{Purple}\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)}\\\[x^2-\({\color{Red}\sqrt{{\color{Black}1+\sqrt3}}}\)^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\]\\\[x^2-\(1+\sqrt3\)\][/tex3]
[tex3]\[x^2-1-\sqrt3\][/tex3]
Entretanto, ainda há [tex3]\sqrt3[/tex3] que é irracional. Naturalmente, queremos elevar esse termo por 2. Ocorre que podemos fazer, desde que usemos [tex3]a=x^2-1[/tex3] e [tex3]b=\sqrt3[/tex3] . Reaplicando a mesma fatoração, obtemos:
[tex3]\[x^2-1-\sqrt3\]\\\[\(x^2-1\)-\sqrt3\]{\color{NavyBlue}\[\(x^2-1\)+\sqrt3\]}\\\[\(x^2-1\)^2-\(\sqrt3\)^2\]\\\[x^4-2x^2+1-3\][/tex3]
[tex3]\boxed{\[x^4-2x^2-2\]}[/tex3]
Agora sim, podemos montar o polinômio.
Construindo o Polinômio
Com tudo o que temos, vamos simplesmente tacar tudo no liquidificador e falar que está certo. Veja:
[tex3]f(x)=\(x-\sqrt[3]3\)\(x^2+x\sqrt3+(\sqrt3)^2\)\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)\(\(x^2-1\)-\sqrt3\)[/tex3]
Veja que estrutura nos assegura que as raízes zeram o polinômio, pois, se na forma fatorada gera um [tex3]0[/tex3] , o produto será [tex3]0[/tex3] . Seguindo as transformações, concluímos:
[tex3]f(x)={\color{PineGreen}\(x-\sqrt[3]3\)\(x^2+x\sqrt3+(\sqrt3)^2\)}{\color{Purple}\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)\(\(x^2-1\)-\sqrt3\)}[/tex3]
[tex3]f(x)={\color{PineGreen}\[x^3-3\]}{\color{Purple}\[x^4-2x^2-2\]}[/tex3]
[tex3]\boxed{f(x)=x^7-2x^5-3x^4-2x^3+6x^2+6}[/tex3]
Encontrando o valor de [tex3]A[/tex3]
De maneira direta, perceba que [tex3]A=f(1)-1[/tex3] . Esse [tex3]-1[/tex3] elimina o [tex3]1[/tex3] formado pelo primeiro coeficiente, o qual não é pedido para o termo [tex3]A[/tex3] . Enfim:
[tex3]A=f(1)-1[/tex3]
[tex3]A=1-2-3-2+6+6-1[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A=5}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
Não vamos nos preocupar com o grau mínimo. Criaremos já no mesmo. A questão que fica aqui é sobre o polinômio inteiro. Isso significa que os coeficientes do polinômio são inteiros. Como as raízes dadas são irracionais, precisamos multiplicar por outros termos irracionais até que resultem em coeficientes racionais.
Faremos assim, separadamente, iremos multiplicar as raízes até que resultem só em termos racionais. Só havendo coeficientes racionais, o produto irá sempre resultar em outros coeficientes racionais.
Manipulando a Primeira Raiz
Como a primeira raiz é [tex3]\sqrt[3]3[/tex3] , na forma fatorada, o termo será:
[tex3]\(x-\sqrt[3]3\)[/tex3]
De forma direta, o que queremos é elevar esse termo ao cubo, fazendo com que se resulte em [tex3]3[/tex3] . Demorou um pouco para eu me recordar, mas, nos baseando em fatoração, podemos nos recordar que:
[tex3]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b)[/tex3]
Veja que, desse modo, podemos tomar [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=\sqrt[3]3[/tex3] , então podemos multiplicar a raiz que temos para chegamos em termos racionais:
[tex3]\(x-\sqrt[3]3\)\\\(x-\sqrt[3]3\){\color{PineGreen}\(x^2+x\sqrt[3]3+\sqrt[3]3\)}\\x^3-\(\sqrt[3]3\)^3[/tex3]
[tex3]\boxed{\[x^3-3\]}[/tex3]
Agora, apenas temos termos racionais, logo, não iremos nos preocupar com o surgimento de coeficientes irracionais por conta dessa raiz
Manipulando a Segunda Raiz
Para a segunda raiz, mostrada abaixo:
[tex3]\(x-\sqrt{1-\sqrt3}\)[/tex3]
Para tratar esses, iremos utilizar uma fatoração bem conhecida:
[tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3]
Assim, podemos nos livrar da primeira raiz usando [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=\sqrt{1-\sqrt3}[/tex3] , o que nos leva a
[tex3]\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\\\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\){\color{Purple}\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)}\\\[x^2-\({\color{Red}\sqrt{{\color{Black}1+\sqrt3}}}\)^{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}\]\\\[x^2-\(1+\sqrt3\)\][/tex3]
[tex3]\[x^2-1-\sqrt3\][/tex3]
Entretanto, ainda há [tex3]\sqrt3[/tex3] que é irracional. Naturalmente, queremos elevar esse termo por 2. Ocorre que podemos fazer, desde que usemos [tex3]a=x^2-1[/tex3] e [tex3]b=\sqrt3[/tex3] . Reaplicando a mesma fatoração, obtemos:
[tex3]\[x^2-1-\sqrt3\]\\\[\(x^2-1\)-\sqrt3\]{\color{NavyBlue}\[\(x^2-1\)+\sqrt3\]}\\\[\(x^2-1\)^2-\(\sqrt3\)^2\]\\\[x^4-2x^2+1-3\][/tex3]
[tex3]\boxed{\[x^4-2x^2-2\]}[/tex3]
Agora sim, podemos montar o polinômio.
Construindo o Polinômio
Com tudo o que temos, vamos simplesmente tacar tudo no liquidificador e falar que está certo. Veja:
[tex3]f(x)=\(x-\sqrt[3]3\)\(x^2+x\sqrt3+(\sqrt3)^2\)\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)\(\(x^2-1\)-\sqrt3\)[/tex3]
Veja que estrutura nos assegura que as raízes zeram o polinômio, pois, se na forma fatorada gera um [tex3]0[/tex3] , o produto será [tex3]0[/tex3] . Seguindo as transformações, concluímos:
[tex3]f(x)={\color{PineGreen}\(x-\sqrt[3]3\)\(x^2+x\sqrt3+(\sqrt3)^2\)}{\color{Purple}\(x-\sqrt{1+\sqrt3}\)\(x+\sqrt{1+\sqrt3}\)\(\(x^2-1\)-\sqrt3\)}[/tex3]
[tex3]f(x)={\color{PineGreen}\[x^3-3\]}{\color{Purple}\[x^4-2x^2-2\]}[/tex3]
[tex3]\boxed{f(x)=x^7-2x^5-3x^4-2x^3+6x^2+6}[/tex3]
Encontrando o valor de [tex3]A[/tex3]
De maneira direta, perceba que [tex3]A=f(1)-1[/tex3] . Esse [tex3]-1[/tex3] elimina o [tex3]1[/tex3] formado pelo primeiro coeficiente, o qual não é pedido para o termo [tex3]A[/tex3] . Enfim:
[tex3]A=f(1)-1[/tex3]
[tex3]A=1-2-3-2+6+6-1[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A=5}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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